5.6二维自治微分方程组的周期解和极限环.ppt

目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 5.6.1 概念及定理 5.6.2 例题 §5.6 二维自治微分方程组的周期 解和极限环 设 是系统 的一个极限环,如果存在着 的一个 邻域， 使从此邻域内出发的其他解均正向 趋近于 ，则称 为稳定的极限环。 如果其他解均负向于 趋近于 ， 则称 为不稳定的极限环。 如果从 的 邻域出发的其他轨线在 的 一侧正向趋近于 ，另一侧负向趋近于 ， 则称此 为半稳定的极限环。 定理5.11 Poincare-Bendixson环域定理 设区域 是由两条简单闭曲线 围成的 环形域并且满足下面条件: (1) 及其边界 上不含奇点; (2)从G的边界 上各点出发的轨线都不能 离开(或进入) ; (3) 均不是闭曲线. 周围在 内至少存在一个外稳定闭轨和一个内 稳定闭轨(一个外不稳定闭轨和一个内不稳定的闭 轨)，如果是惟一的闭轨,周围一定是一条稳定的 (不稳定的)极限环。 定理5.12 时的VanderPol方程 其等价方程组 至少有一个极限环。 定理5.13 设系统 的右端函数 ， 在某个单连域 内 连续可微,并且 在 内不变号,且在 的任何子域内不恒为零， 则方程组 在 内不存在任何闭轨线。 定理5.14 对于方程组 若在某个单连域 内存在一个连续可微函数 使得 不变号。且在 的任何子域中不恒为零， 则方程组不存在全部位于 内的闭轨线。 定理5.15 如果沿着系统 的极限环 有 则 是稳定(不稳定)的.其中 是 的周期。 定理5.16 给定微分方程 (5.6.18) 其等价方程组为： 其中 如果 (1) 在 连续; (2) ; (3) 在 内分别单调不减， 则上述方程组至多存在一个极限环，若存在它 必定为稳定的。 5.6.2 例题 例5.6.1 证明平面二次系统 (5.6.17) 当 时无闭轨线。 证明 由系统的第一个方程得到