函数展开成幂级数.ppt

§11.4 函数展开成幂级数 一、泰勒级数 二、函数展开成幂级数 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 一、泰勒级数 二、函数展开成幂级数 函数f(x)是否能在某个区间内“展开成幂级数”, 就是说, 是否能找到这样一个幂级数, 它在某区间内收敛, 且其和恰好就是给定的函数f(x). 如果能找到这样的幂级数, 则称函数f(x)在该区间内能展开成幂级数. 复习 根据泰勒中值定理, 如果函数f(x)在x0的某邻域内具有各阶导数? 则在该邻域内 等式右端的多项式当其项数趋于无穷时, 将成为幂级数, 这个幂级数就称为f(x)的泰勒级数. 一、泰勒级数 泰勒级数 如果函数f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数, 则幂级数 称为函数f(x)的泰勒级数. 麦克劳林级数 在泰勒级数中取x0?0, 得 此级数称为f(x)的麦克劳林级数. 一、泰勒级数 显然, 当x?x0时, f(x)的泰勒级数收敛于f(x0). 需回答的问题是: 除了x?x0外, f(x)的泰勒级数是否收敛? 如果收敛, 它是否一定收敛于f(x)? 泰勒级数 麦克劳林级数 . . 一、泰勒级数 设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数, 则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒公式中的余项Rn(x)当n?0时的极限为零, 即 定理 泰勒级数 麦克劳林级数 . . 展开式的唯一性 如果f(x)能展开成x的幂级数, 那么这种展式是唯一的, 它一定与f(x)的麦克劳林级数一致. 这是因为, 如果f(x)在点x0?0的某邻域(?R, R)内能展开成x的幂级数, 即 f(x)?a0?a1x?a2x2? ? ? ? +anxn ? ? ? ? , ? ? ?, a0=f(0), a1=f ?(0), ? ? ?. 提示: f ??(x)?2!a2?3?2a3x?4?3a4x2?5?4a5x3? ? ? ? , f ??(0)?2!a2. f (n)(x)?n!an?(n?1)n(n?1)???2an?1x ? ? ? ? , f (n)(0)? n!an. 那么有 f ?(x)?a1?2a2x?3a3x2?4a4x3?5a5x4? ? ? ? , f ?(0)?a1 . 如果f(x)能展开成x的幂级数, 那么这个幂级数就是f(x)的麦克劳林级数. 但是, 如果f(x)的麦克劳林级数在点x0?0的某邻域内收敛, 它却不一定收敛于f(x). 因此, 如果f(x)在点x0?0处具有各阶导数, 则f(x)的麦克劳林级数虽然能作出来, 但这个级数是否在某个区间内收敛, 以及是否收敛于f(x)却需要进一步考察. 应注意的问题: 展开式的唯一性 如果f(x)能展开成x的幂级数, 那么这种展式是唯一的, 它一定与f(x)的麦克劳林级数一致. 函数展开成幂级数的步骤 第一步 求出f (x)的各阶导数: f ?(x), f ??(x), ? ? ? , f (n)(x), ? ? ? ; 第二步 求函数及其各阶导数在x?0 处的值: f(0), f ?(0), f ??(0), ? ? ? , f (n)( 0), ? ? ? ; 第三步 写出幂级数 第四步 考察在区间(?R, R)内时是否Rn(x)?0(n??). 如果Rn(x)?0(n??), 则f(x)在(?R, R)内有展开式 并求出收敛半径R; 例1 将函数f(x)?ex展开成x的幂级数. 解 显然 f (n)(x)?ex(n?1, 2, ? ? ?), 于是得级数 f (n)(0)?1(n?1, 2, ? ? ?). 它的收敛半径R???. 对于任何有限的数x、x (x介于0与x之间), 有 例2 将函数f(x)?sin x展开成x的幂级数. 解 所以f (n)(0)顺序循环地取0, 1, 0, ?1, ? ? ? (n?0, 1, 2, 3, ? ? ?