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刚体力学基础 动量矩 本章内容： 1 刚体和刚体的基本运动 2 力矩 刚体绕定轴转动微分方程 3 绕定轴转动刚体的动能 动能定理 4 动量矩和动量矩守恒定律 1 刚体和刚体的基本运动 1.1 刚体(rigid body)的概念 在力作用下，大小和形状都保持不变的物体称为刚体。 特殊的质点系， —— 理想化模型 形状和体积不变化 在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变 1.2 刚体的平动和定轴转动 刚体的平动(translation of a rigid body) 刚体运动时，若在刚体内所作的任一条直线都始终保持和自身平行 平动的特点: 刚体中各质点的运动情况相同,刚体的平动可归结为质点运动 x y z O A B M 2. 刚体绕定轴的转动(rotation of a rigid body around a fix axis) 角坐标 描述刚体绕定轴转动的角量 刚体内各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动 _____ 刚体转动 转轴固定不动 — 定轴转动 (运动学方程) 角速度 角加速度 z I II P ? 绕定轴转动刚体内各点的速度和加速度 当 与质点的匀加速直线运动公式相似 M ω,? 刚体 ? θ z O rM 任意一点都绕同一轴作圆周运动, 且 ?，? 都相同 2.1 力矩(torque) 2 力矩 刚体绕定轴转动微分方程 力 改变质点的运动状态 质点获得加速度 力矩 改变刚体的转动状态 刚体获得角加速度 1. 力 F 对z 轴的力矩 h A ? (力不在垂直于轴的平面内) (力F 在垂直于轴的平面内) 2.力对点的力矩 O . 大小 ? 指向由右螺旋法则确定 力对定轴力矩的矢量形式 （力对轴的力矩只有两个指向） A 2.2 刚体绕定轴转动微分方程 第 k个质元 切线方向 在上式两边同乘以 rk 对所有质元求和 fk 内力矩之和为0 转动惯量 J rk 刚体绕定轴转动微分方程（刚体的转动定律） 与牛顿第二定律比较： 2.3 转动惯量( rotational inertia, moment of inertia) 定义 质量不连续分布 r 质量连续分布 确定转动惯量的三个要素:(1)总质量 (2)质量分布 (3)转轴的位置 J 与刚体的总质量有关 例如等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量 L z O x dx M J 与质量分布有关 例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量 例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量 dl O m R O m r dr R O L x dx M z L O x dx M 平行轴定理(parallel axis theorem) z L C M z z J 与转轴的位置有关 刚体绕任意轴的转动惯量 刚体绕通过质心的轴 两轴间垂直距离 (1) 飞轮的角加速度 (2) 如以重量P =98 N的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速度 解 (1) (2) 两者区别 2.4 转动定律的应用举例 例 求 一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kg·m2，飞轮与转轴间的摩擦不计， (见图) 一定滑轮的质量为 m ，半径为 r ，不能伸长的轻绳两边分别系 m1 和 m2 的物体挂于滑轮上，绳与滑轮间无相对滑动。（设轮轴光滑无摩擦，滑轮的初角速度为零） 例 求 滑轮转动角速度随时间变化的规律。 解 以m1 ， m2 ， m 为研究对象, 受力分析 滑轮 m： 物体 m1： 物体 m2： 3 绕定轴转动刚体的动能 动能定理 3.1 绕定轴转动刚体的动能(rotational kinetic energy of a rigid body) z ? O 的动能为 刚体的总动能 P ? 绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方乘积的一半 结论 3.2 力矩的功(work done by torque) ? O 根据功的定义 （力矩做功的微分形式） 对一有限过程 若 M = C 力的累积过程——力矩的空间累积效应 ? . P 3.3 转动动能定理(rotational kinetic energy theorem) —— 合力矩功的效果 对于一有限过程 绕定轴转动刚体在任一过程中转动动能的增量，等于在该过程中作用在刚体上所有外力矩所作功的总和。这就是绕定轴转动刚体的——动能定理 (2) 力矩的功就是力的功。 (3) 内力矩作功之和为零。 讨论 (1) 合力矩的功 例 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平 面内转动，初始时它在水平位置 解 由动能定理 求 它由此下摆 ? 角时的 ? 此题也可用机械能守恒定律方便求解 O l m ? C x