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* 3.2.1 刚体定轴转动的转动定律 3.2 刚体定轴转动动力学 3.2.2 刚体定轴转动的动能定理 3.2.4 例题分析 3.2.3 刚体定轴转动的角动量守恒定律 3.2.1 刚体定轴转动的转动定律 1. 力矩 对于定点转动而言: 对于定轴转动而言: 注意: (1)力矩是对点或对轴而言的; (2)一般规定,使刚体逆时针绕定轴转动时 ;使刚体顺时针绕定轴转动时 . 2. 刚体定轴转动的转动定律 对质元 ,由牛顿第二运动定律得 其中 是质元 绕轴作圆运动的加速度,写为分量式如下: 其中 和 是质元 绕轴作圆运动的法向加速度和切向加速度,所以 法向力的作用线过转轴,其力矩为零. 内力矩为零 外力矩为M 刚体定轴转动的转动定律 转动惯量是刚体作转动时对惯性的量度描述. 3. 转动惯量 适用于离散分布刚体转动惯量的计算 适用于连续分布刚体转动惯量的计算 在国际单位制(SI)中,转动惯量的单位为千克二次方米,即 . 刚体转动惯量的大小与下列因素有关: (1)形状大小分别相同的刚体质量大的转动惯量大; (2)总质量相同的刚体,质量分布离轴越远转动惯量越大; (3)对同一刚体而言,转轴不同,质量对轴的分布就不同,转动惯量的大小就不同. 3.2.2 刚体定轴转动的动能定理 1. 刚体定轴转动的动能( 转动动能 ) 对于第i 个质元,动能为 对于整个刚体,动能为 2. 刚体定轴转动时力矩所做的功及功率 3. 刚体定轴转动的动能定理 3.2.3 刚体定轴转动的角动量守恒定律 1. 角动量( 动量矩 ) 对于定点转动而言: 在国际单位制(SI)中,角动量的单位为 对于绕固定轴oz 转动的整个刚体而言: 对于绕固定轴oz的转动的质元 而言: 角动量的方向沿轴的正向或负向,所以可用代数量来描述. 2. 角动量定理(动量矩定理) 3. 角动量守恒定律 即系统所受的合外力矩为零. ——角动量守恒的条件 ——角动量守恒的内容 注意:在推导角动量守恒定律的过程中受到了刚体、定轴等条件的限制,但它的适用范围却远远超过了这些限制. 如: 滑冰运动员的表演. 3.2.4 例题分析 1.一绳跨过定滑轮,两端分别系有质量分别为m 和M 的物体,且 . 滑轮可看作是质量均匀分布的圆盘,其质量为 ,半径为R ,转轴垂直于盘面通过盘心,如图所示.由于轴上有摩擦,滑轮转动时受到了摩擦阻力矩 的作用. 设绳不可伸长且与滑轮间无相对滑动.求物体的加速度及绳中的张力. 解 受力分析如图所示.对于上下作平动的两物体,可以视为质点,由牛顿第二运动定律得 若以顺时针方向转的力矩为正,逆时针转的方向为负,则由刚体定轴转动的转动定律得 据题意可知,绳与滑轮间无相对滑动,所以滑轮边缘上一点的切向加速度和物体的加速度相等,即 联立以上三个方程,得 注意:当不计滑轮的质量和摩擦阻力矩时,此时有 ,物理学中称这样的滑轮为“理想滑轮”,称这样的装置为阿特伍德机. 2.求长为L ,质量为m 的均匀细棒AB 的转动惯量. (2)对于通过棒的中点与棒垂直的轴. (1)对于通过棒的一端与棒垂直的轴; 解 (1)如图所示,以过A 端垂直于棒的 为轴,沿棒长方向为x 轴,原点在轴上,在棒上取长度元 ,则由转动惯量的定义有: (2)如图所示,以过中点垂直于棒的 为轴,沿棒长方向为x 轴,原点在轴上,在棒上取长度元 ,则由转动惯量的定义有: 3.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆环对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. 解 作示意图如右,由于质量连续分布,所以由转动惯量的定义得 4.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆盘对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. 解 如图所示, 由于质量连续分布,设圆盘的厚度为l,则圆盘的质量密度为 5. 如图所示,一质量为M 、半径为R 的匀质圆盘形滑轮,可绕一无摩擦的水平轴转动. 圆盘上绕有质量可不计绳子,绳子一端固定在滑轮上,另一端悬挂一质量为m 的物体,问物体由静止落下h 高度时,物体的速率为多少? 物体下降的加速度的大小就是转动时滑轮边缘上切向加速度,所以 解法一 用牛顿第二运动定律及转动定律求解.分析受力如图所示. 对物体m用牛顿第二运动定律得 对匀质圆盘形滑轮用转动定律有 物体m 落下h 高度时的速率为 圆盘的转动惯量为 联立以上五式,可得物体m 落下h
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