初等数学研究(六).ppt

第六讲初等几何基础(一) 三、学习初等几何的重要性 1.培养人的逻辑思维能力 2.逻辑能力的培养不能被数学的其他科目完全取代 3.学习初等几何可发展人的空间想象能力和识图能力 4.学习初等几何有助于在生活现实中独立自主，提高动手能力，更是继续学习的基础 5.你认为学习初等几何还有哪些重要性？(讨论题) 四、初等几何学发展简史 1.几何发展大约经过四个阶段 (1)实验几何(大约公元前七世纪前) (2)初步推理几何(大约公元前四世纪前) (3)解析几何的产生与发展 (4)现代几何的发展 2.欧几里得《几何原本》中的不足 3.欧几里得不可磨灭的贡献 (1)《几何原本》是人类第一次把丰富散漫的几何材料整理成了系统严明的读本 (2)《原本》是人类历史上的一部杰作 (3)两千年来，人类对初等几何的研究仍以《原本》为依据 (4)欧几里得成了“几何”的代名词 《几何原本》的每一卷都以一些概念的定、公设、和公理为基础。第一卷以23个定义、5个公设和5个公理开始的。 定义 (1) 点是没有部分的。 (2) 线是只有长度而没有宽度的。 (3) 线的界限是点。 (4) 直线是这样的线，它对于它的所有各个点都有同样的位置。 (5) 面是只有长度和宽度的。 (6) 面的界限是线。 (7) 平面是这样的面，它对于它的所有直线有同样的位置。 (8) 平面上的角是在一个平面上的两条相交直线相互的倾斜度 (9) 当形成一角度的两线是一直线的时候，那角度成为平角。 …… (23) 平行线是在同一平面上而且尽管向两侧延长也决不相交的直线。 §2.几何证明概述 一、现行中学几何教材的逻辑结构特征 1.扩大公理系统，删减繁杂内容，适应中学生接受 2.利用图形直观降低几何学习入门难度 三、几何证题的步骤 1审题：2.寻求思路： 3.选择证法：4.叙述证明： §3.几何证明的一般方法 1.直接证法 (1)叠合法 (2)合一法 2.间接证法 (1)反证法： ①归谬法 ②穷举法 (2)同一法 ☆ 二、综合法与分析法 1.综合法(由因导果) 　　　从题设的已知出发，通过逻辑推理，导出所给命题的结论，即“由因导果”的思维方法。 2.分析法(执果索因) 　　　　是指从待证的结论出发，寻找结论成立的充分条件，如此逐步往追溯，一直到已知条件为止，即“执果索因”的方法。 三、演绎法与归纳法 1.演绎法(三段论法) 　　　是由演绎推理组成的证明方法，要求演绎推理中的三段论的大、小前提都是正确真实的，是一种由一般原理推出特殊事实结论的证明方法。 2.归纳法 　　　是由归纳推理组成的证明方法。归纳法又分为不完全归纳法、完全归纳法和数学归纳法。 §4.　度量关系与位置关系的证明 (1)何谓度量关系的证明？ (2)何谓位置关系的证明？ 一、关于两线段(角)相等的证明 1.有关证明的主要定理 2.证明的一般思考方法 (1)(2)(3)(4)①②③(5)(6) 3.例题选讲 二、关于线段(角)的和、差、倍、分的证明 1.有关证明的重要定理 2.关于证明的一般思考方法 ［通常有“截长”、“补短”、“加倍”、“减半”、“n倍”、“1/n”等。］ 三、关于线段(角)不等的证明 1.有关证明的重要定理 2.关于证明的一般方法思考 3.例题选讲 　　例5.已知在△ABC中AB＝AC，P是△ ABC内一点，且∠APB＞∠APC. 求证：PB＜PC. 五、关于垂直直线的证明 1.有关证明的重要定理 2.有关证明的一般方法 3.例题选讲 例8.　设BD、CE为△ABC的两条高线，若M为ED的中点，N为BC的中点，试证NM⊥DE. 六、关于共线点、共点线等的证明 1.有关证明的重要定理 2.有关证明的一般思考方法(P49) (1)关于点共线的证明 证明A、B、C三点共线的一般思考方法是： (2)关于线共点的证明 证明a、b、c三线共点的一般思考方法是： (3)关于点共圆的证明 证明A、B、C、D四点共圆的一般思考方法是： (4)关于圆共点的证明 3.例题选讲 　例9.　已知：如图，X、Y、Z是△ABC外接圆上一点P分别 在三边(或三边 所在直线)上的射影. 求证：X、Y、Z共线。 作业： * 阜阳师范学院新区风光 二、初等几何的内容体系 ①.初等几何研究的内容 ②.初等几何研究的方法 ③.初等几何的内容体系 ④.初等几何研究问题的主要类型 §1.　初等几何简介 一、初等几何的研究对象 欧几里德(前330～前260) 毕达哥拉斯(约前580～约前500) 约前486～前376　 4.《几何原本》译成中文简介 (1)明万历年间(明万历三十五年(1607))徐光启(1562－1633)与意大利传教士利玛窦(R·Matte 1552-1610)首次合译前6卷[“几何学”一词由徐光启引入]；　 (2)清人李善兰(1