Maple在微积分上的应用.ppt

Maple在微積分上的應用 教授：蔡桂宏 博士 學生：施凱晏 學號Let us start!!!! 報告大綱： 函數與極限 導數與導函數 導數的應用 積分 積分應用與技巧 第一章 函數與極限 1.1 函數 1.2 函數的運算 1.3 極限的基本概念 1.4 Maple的極限計算法 1.5 函數的連續性 1.1 函數 (1)偶函數與奇函數： 如果 ，則稱f為偶函數(even function)。若 ，則稱f 為奇函數(odd function)。偶函數的圖形對稱於y軸，而奇函數的圖形對稱 於原點。 EX: (2)片段函數(piecewise function)： Maple以piecewise指令來定義片段函數，其語法如下: piecewise(cond1,f1,cond,f2,…,condn,fn,otherwise) 若條件式cond1成立，則執行f1，若cond2成立，則執行f2，以此類推。 若所有條件都不成立，就執行otherwise，若otherwise沒有指定，則其預 設值為0。 EX: 1.2 函數的計算 (1)函數的合成： 以函數g合成f，而產生的函數f(g(x))稱為合成函數(composite function)， 記為f。g。因此(f。g)(x)= f(g(x))。而Maple以小老鼠符號@來代表。 EX: 合成函數也可以由片段函數組成。 EX: , 而 ，試以Maple求出(f。g)(x) 1.3 極限的基本概念 極限(limit)常用來描述當x趨近某個數值時，函數y=f(x)的變化情形。 (1)極限的直觀介紹: 考慮 ，在x=0並沒有定義(因為分母為0)，但因為sinx也為 0，所以式子變為0/0的數學式，探討其值為何。 EX: (2)夾擠定理(squeeze theorem): 定理: 設在一個包含a點的開區間中的所有的x值，恆有g(x) f(x) h(x)， 若 則 EX:以函數圖形來說明 夾擠定理意義， 1.4 Maple的極限計算法 (1)Limit limit:計算函數的極限值。 趨近方向dir為一選項，其值可以是left或right。若沒有指定，則以雙方向趨 近，而趨近的點可以是一常數、變數、或者是infinity、- infinity。 EX: EX: limit指令也可以用來求解片段函數的極限值。 1.5 函數的連續性 (1)連續性: 定義函數的連續: 如果(1)f(a)有定義，(2) 存在，而且(3) ，則稱函數 f(x)在x=a為連續。 EX: 利用Maple來判別函數是否連續。 (2)Maple有關測試函數連續性的指令: EX1: EX2: (3)介值定理(the intermediate value theorem): 定理: 如果函數f於閉區間[a,b]連續，且 ，則於閉區間[a,b]至少 存在一數c使得f(c)=N。 由介值定理可以推論得，若函數f於閉區間[a,b]連續且f(a)*f(b) 0(亦即 f(a)與f(b)的乘積為負)，則於閉區間[a,b]內至少存在一解c使得f(c)=0。 EX: 第二章 導數與導函數 2.1 導函數與導數 2.2 導函數的求法 2.3 Maple的微分指令 2.4 鏈鎖律 2.5 高階導函數 2.6 隱微分法 2.1 導函數與導數 (1)導函數: f(x)的導函數之物理意義，即是f(x)之切線的斜率函數。 定義導函數: 函數f(x)的導函數定義為 ，而 的定義域 為使得該極限存在的所有x所組成。 EX: (2)導數: 定義導數: 函數f(x)在