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§3 行列式按行（列）展开 二.行列式按行 （列）展开定理 引理 设D为n阶行列式，如果D的第i行所有元素除 aij 外，其余元素均为零，那么行列式D等于 aij与其代数余子式的乘积，即 定理1 行列式等于它的任 一 行（列）的各元素与其对 应的代数余子式乘积之和,即 例3 证明范德蒙（Vandermonde）行列式 三、行列式展开定理的推论 推论 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即 把D按第j行展开,有 在上式两端用 代替 显然,等式左端行列式有两行相同,故行列式等于零,即. 同理可证, 作业：34页7题（3）（6） * * 余子式和代数余子式 在 n 阶行列式中，把元素aij 所在第 i 行和第 j 列划去后，留下来的n－1阶行列式叫做元素 的aij 的余子式. 记作 Mij . 即 aij 的余子式记作 Mij . aij 的代数余子式 Aij = (-1)i+jMij. 中元素 的余子式和代数余子式分别为 证：设 证： 类似地.若按列证明，可得 例1.计算 解 例2 计算 解: 按第一行展开 以此作递推公式，即可得 其中记号“Π”表示全体同类因子的乘积. 所以当n=2时（1）成立. 现在假设（1）对于n－1阶Vandermonde行列式，即 证: 用数学归纳法.因为 我们来证明对 n 阶 Vandermonde行列式也成立. 例4.计算 或 证: 设 得 *
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