卡氏定理与超静定.ppt

该刚架是一次静不定，将A支座解除掉，并代之以A的支座反力。根据变形比较，A点实际的垂直位移等于零 用卡氏定理计算A点的垂直位移 BC段： AB段： q 求出多余约束后，不难利用刚架的平衡方程得到其他的支座反力。 q 二、截断法 将结构中的某杆从中间截开，并以其内力代替截开面上的受力，然后利用两个截面的实际相对位移等于零，便可方便的求解静不定问题。 例12-8 求解图示静不定问题各杆的轴力，各杆抗拉刚度相同，均为EA。 二、截断法 将3杆从中间任意位移截开，并代替以3杆的轴力作用在两个截面上（c）图。由和外力F，可写出另外两杆的轴力。列表 ： 则截面间的相对位移 变形比较，即 所以： 其余两轴力可通过平衡方程得到： 例12-9 刚架各杆的弯曲刚度均为EI，不计剪力和轴力对位移的影响，用卡氏第二定理求支反力。 C A B q l l (a) 解：该题为一次超静定。以铰链C的铅垂支反力X 为多 余未知力，基本静定系如图b 所示。由于 ,但是在 中，出现 (Ve 也将出现 )，必须把 C A B q l l (a) l (b) y FCx x X FAx FAy C A B q l 用 q , X 表示。 由 ，得 CB, AB段的弯矩方程及其对X 的偏导数分别为 ， 由 ，得 l (b) y FCx x X FAx FAy C A B q l 解得 （↓）和图示方向相反。 （↑） （←） （←） 由平衡条件得 l (b) y FCx x X FAx FAy C A B q l 例12-10 半圆环的弯曲刚度为EI，不计剪力和轴力对位移的影响，用卡氏第二定理求对称截面上的内力。 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第12章 能量法与超静定问题 * 材料力学 第12章 能量法与超静定问题 第十二章 能量法 §12-1 概述 §12-2 杆件变形能的计算 §12-3 卡氏定理 §12-4 能量法解超静定问题 §12-1 概述 一、能量方法 二、基本原理 能量法是求位移的普遍方法，可以求结构上任意点沿任意方向的位移。 §12-2 杆件变形能的计算 1、轴向拉压的变形能 2、扭转杆内的变形能 纯弯曲 横力弯曲 3、 弯曲变形的变形能 θ Me ? Me Me ? Me 4、组合变形的变形能 二、变形能的普遍表达式 —— 克拉贝隆原理（只限于线性结构） F--广义力 包括力和力偶 δ--广义位移 包括线位移和角位移 ?2 ?1 ?3 设弹性结构在支座的约束下无任何 刚性位移. 作用有外力： F1 ，F2 ，? ，Fi ， ? 相应的位移为： ?1 ， ? 2 ，? ， ? i ， ? §12-3 卡氏定理 F1 F2 F3 结构的变形能 只给 Fi 一个增量 ? Fi . ?2 ?1 ?3 F1 F2 F3 原有的所有力完成的功为 结构应变能的增量为 (a) (b) 由式(a)=(b),可得： ，而总的变形能应为： 如先作用 而后作用 F1、F2… 。由于 的作用， 弹性体内所产生的变形能为： 在 的作用过程中，由 不因先前作用了 而有所改变， 同时由于 在这一过程中 始终作用在弹性体上，因此该过程中，弹性体内再次 产生的变形能应为： 对弹性体的作用效果并 F1、F2… F1、F2… 略去二阶微量： ，求得： ——卡氏定理。 (1) 卡氏第二定理只适用于线性弹性体 说明 (2) Fi 为广义力，? i 为相应的位移 一个力 一个力偶 一对力 一对力偶 一个线位移 一个角位移 相对线位移 相对角位移 卡氏第二定理的应用 ? 轴向拉、压 ? 扭转 ? 弯曲 ? 平面桁架 ? 组合变形 例12-1 图示各杆的直径均为d，材料的弹性常数E、G。试用卡氏第二定理求 A 端的铅垂位移（不计剪力对位移的影响）。 解：AB段的弯矩方程及其对F 的偏导数分别为 l C B A F a x x z y O （0≤ x≤ l） ， ① 直