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* * 用一块长80cm,宽60cm的薄钢片,在四个角上截去四个相同的小正方形,然后做成底面积为1500cm2的无盖长方形盒子.试求出截去的小正方形的边长。 由题意可知截取后的底面积。故应根据面积找相等关系解题。 即 x2-70x+825=0. 解:设小正方形边长为xcm,则盒子底面的长、宽分别为(80-2x)cm、(60-2x)cm,则有(80-2x)(60-2x)=1500. x x x x 80-2x 60-2x 这个方程和以前学过的方程有什么异同? 分析:要解决此问题,需求出铁片的长和宽,由于长比宽多5cm,可设宽为未知数来列方程. 剪一块面积是150cm2的长方形铁片,使它的长比宽多5cm,这块铁片应怎样剪? 解:设这块铁片宽xcm,则长是(x+5)cm.根据题意,可得x(x+5)=150. 即 x2+5x-150=0. x2-70x+825=0. x2+5x-150=0. 观察 这两个方程有什么共同点? 方程中未知数的个数、次数各是多少? 梳理 等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2 (二次)的方程,叫做一元二次方程。 一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式: ax2+bx+c=0 (a≠0). 这种形式叫做一元二次方程的一般形式,其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项。 梳理 为什么? 例题讲解 将方程(3x-2)(x+1)=8x-3 化为一元二次方程的一般形式,并写出二次项系数、一次项系数及常数项。 解:去括号,得 3x2+3x-2x-2=8x-3 移项,合并同类项得 3x2-7x+1=0 所以得到一元二次方程的一般形式为: 3x2-7x+1=0 其中二次项系数为3,一次项系数为-7,常数项为1。 1、下列方程中哪些是一元二次方程? 是一元二次方程的有: 探究 2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项。 解:方程(1)整理为5x2-4x-1=0;其中二次项系数为5,一次项系数为-4,常数项为-1. 方程(2)整理为4x2-81=0;其中二次项系数为4,一次项系数为0,常数项为-81. 剪铁片的题目中,列得的方程为 x2+5x-150=0. … x2+5x-150 11 10 9 … 3 2 1 x -144 -136 -126 -24 0 16 分析 可以发现,当x=10时,x2+5x-150=0。即x=10时,方程左右两边相等,所以x=10是方程x2+5x-150的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。 通过计算可知,当x=-15时,方程左边为0,与方程右边相等,所以x=-15也是方程x2+5x-150=0的根. 虽然方程x2+5x-150=0有两个根(x=10和x=-15),但剪铁片问题的答案只有一个,宽应为10cm。 由实际问题列出方程并得出方程的解后,必须考虑这些解是否是该实际问题的解,即是否符合生活实际。 探究
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