两条直线的位置关系-夹角1.ppt

* * 数学之美：美丽的分形几何图形 两条直线的位置关系 ---------夹角 德州市实验中学 顾业振 忆一忆： 当直线L1和L2有斜截式方程： L1：y=k1x+b1，L2： y =k2x+b2 L1∥L2 L1⊥L2 K1=K2 且b1 b2 K1×K2= -1 如图：德州市在城市建设中，需过A地修一条道路L1与原有的高速公路L2连接，且与高速公路成45度的角。由于设计者疏忽，在图纸上没有标出L1，你能否在图纸上将L1标出，以使工程能正常进行？ 做一做： L2 A L1 L1 是哪一条呢？ θ1 L1 L2 θ2 一、直线L1到L2的角： 直线L1按逆时针方向旋转到与L2重合时所转的角， 叫做L1 到 L2的角。 图中θ1是L1到L2的角， θ2是L2到L1的角。 到角的范围： 到角具有方向性！ 注意 如图：德州市在城市建设中，需过A地修一条道路L1与原有的高速公路L2连接，且与高速公路成45度的角。由于设计者疏忽，在图纸上没有标出L1，你能否在图纸上将L1标出，以使工程能正常进行？ 做一做： L2 A L1 L1 是哪一条呢？ 练一练： 根据下列直线方程，在同一坐标系中作出直线L1，L2；并标出L1到L2和L2到L1的角；同时探求两角的大小。 1、L1：y=x+1 L2:x=1 2、L1: y=x+1 L2: y= x 0 x y L1 1 L2 θ1 θ2 图一 α1 α2 0 x y L1 L2 θ2 θ1 图二 α1 α2 已知两条相交直线 L1：y=k1x+b1，L2： y =k2x+b2。 求 直线L1到L2的角为θ。 当 k1k2= －1 时，L1⊥L2 则θ=π/2。 设L1，L2的倾斜角分别是α1和α2，则k1=tanα1，k2=tanα2 由图可知θ=α2－α1 或θ=π-（α1－α2）=π+（α2－α1） L1 Y O X L2 θ α2 α1 图二 Y O X L1 L2 θ α1 α2 图一 当k1k2≠－1 时， 直线L1到L2的角公式： 注意：k1与 k2的顺序！ ∴tanθ=tan（α2－α1）或tanθ=tan　π+（α2－α1） =tan（α2－α1） 二、直线L1与L2的夹角： 当直线L1⊥L2时，直线L1和L2的夹角是π/2。 00＜α≤900 当直线L1与L2相交但不垂直时，在θ和π－θ中有且仅 有一个角是锐角，我们把其中的锐角叫两直线的夹角， 记夹角为α。 直线L1与L2的夹角公式： 夹角的范围： 三、应用： 例1：已知直线L1：y= －2x+3，L2：y=x－3/2 求L1到L2的角和L1、L1的夹角（用角 度制表示） 解：由两条直线的斜率k1=－2，k2=1，得 利用计算器或查表可得：θ≈ 108026′ α≈71034′ 1、求下列直线L1到L2的角与L2到L1的角： ⑴L1：y=1/2· x+2；L2：y=3x+7 ⑵L1：x－y=5，L2：x+2y－3=0 2、求下列两条直线的夹角： ⑴y=3x－1，y=－1/3 ·x+4 ⑵x－y=5；y=4， ⑶y=2x+1 ; x=2 (L1到L2的角450 L2到L1的角1350 ） （L1到L2的角为π－arctan3，L2到L1的角为arctan3） （900） （450） 练一练： (π/2-arctan2) 注意！！ 求两条直线的到角和夹角的步骤： 1、看两直线的斜率是否都存在； 2、若都存在，看两直线是否垂直； 3、若两直线斜率都存在且不垂直 用公式求。