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散度 散度是向量分析中的一个向量算子，将向量空间上的一个向量场（矢量场）对应到一个 标量场上。散度描述的是向量场里一个点是汇聚点还是发源点，形象地说，就是这包含这一 点的一个微小体元中的向量是“向外”居多还是“向内”居多。举例来说，考虑空间中的静电场， 其空间里的电场强度是一个矢量场。正电荷附近，电场线“向外”发射，所以正电荷处的散度 为正值，电荷越大，散度越大。负电荷附近，电场线“向内”，所以负电荷处的散度为负值， 电荷越大，散度越小。 定义 定义向量场的散度，首先要引入通量的概念。给定一个三维空间中的向量场 以及一个简 单有向曲面 ，则向量场 通过曲面 的通量就是曲面每一点 上的场向量 在曲面法 向方向上的分量的积分: 其中 是积分的面积元，n 是Σ在点(x,y,z)处的单位法向量。如果曲面是封闭的，例如球 面，那么通常约定法向量是从里朝外的，所以这时候的通量是描述曲面上的场向量朝外的程 度。 通量描述了一定区域（也就是 ）中向量场的方向趋势，散度则是这个性质的一种局部描述 [1]:7-8 ，也就是说，从散度在一点的值，我们可以看出向量场在这点附近到底倾向发散或收敛。 要算某一点 的散度，先求包含这一点的某一个封闭曲面 的通量 除以封闭曲面 围起来的微小体元 的体积 （这体积用 表示） 得到的比值，向量场 在点 的散 度即是这比值在体元 趋向于点 时的极限。用数学公式表示即： [2]:4 如果用Nabla 算子 表示的话，向量场 的散度记作： [2]:5 从定义中可以看出，散度是向量场的一种强度性质，就如同密度、浓度、温度一样，它对应 [1]:7-8 的广延性质是一个封闭区域表面的通量，所以说散度是通量的体密度 。物理上，散度的 意义是场的有源性。某一点或某个区域的散度大于零，表示向量场在这一点或这一区域有新 的通量产生，小于零则表示向量场在这一点或区域有通量湮灭。这样的点或区域分别称为向 [1]:8 量场的正源（发散源）和负源（洞） 。举例来说，假设将太空中各个点的热辐射强度向 量看做一个向量场，那么某个热辐射源（比如太阳）周边的热辐射强度向量都指向外，说明 太阳是不断产生新的热辐射的源头，其散度大于零。 散度等于零的区域称为无源场或管形场。流体力学中，散度为零的流体称为不可压缩流体， 也就是说此流体中不会有一部分凭空消失或突然产生，每个微小时间间隔中流入一个微小体 [3]:30 元的流体总量都等于在此时间间隔内流出此体元的流体总量 。 分量表示 在不同的坐标系下，向量场的散度有不同的表达方式。 直角坐标系 [2]:8 在三维直角坐标系 中，设向量场 的表示为 ： ， 其中的 分别是 轴、 轴、 轴方向上的单位向量，场的分量 具有一阶连续 偏导数，那么向量场 的散度就是： 圆柱坐标系 圆柱坐标系中，假设物体的位置为 ，定义其径向单位矢量、横向单位矢量和纵向 单位矢量为 ，那么向量场 可以表示成： 向量场A 的散度就是[4][5]:73 ： 球坐标系 球坐标系中，假设物体的位置用球坐标表示为 ，定义它的基矢： ，则 向量场A 可以表示成： 向量场A 的散度就是[6][5]:73 ： 性质