大一高数课件第十二章12-2.ppt

一、可分离变量的微分方程 二、典型例题 三、小结 * 可分离变量的微分方程. 解法 为微分方程的解. 分离变量法 例1 求解微分方程 解 分离变量 两端积分 通解为 解 解 由题设条件 衰变规律 例 4 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律. 解 由力学知识得,水从孔口流出的流量为 流量系数 孔口截面面积 重力加速度 设在微小的时间间隔 水面的高度由h降至 , 比较(1)和(2)得: 即为未知函数的微分方程. 可分离变量 所求规律为 解 例5 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中含有 的 , 为了降低车间内空气中 的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含 的 的新鲜空气, 同时以同样的风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分钟后, 车间内 的百分比降低到多少? 设鼓风机开动后 时刻 的含量为 在 内, 的通入量 的排出量 的通入量 的排出量 的改变量 6分钟后, 车间内 的百分比降低到 分离变量法步骤: 1、分离变量; 2、两端积分-------隐式通解. 思考题 求解微分方程 * * * * 设函数和是连续的, 设函数和是依次为和的原函数, 例3 衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量成正比,已知,求衰变过程中铀含量随时间变化的规律. 一、求下列微分方程的通解: 1、； 2、； 3、. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解: 1、,； 2、,. 三、质量的质点受外力作用作直线运动,这外力 和时间成正比,和质点运动的速度成反比.在 秒时,速度等于,外力为, 问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少? 四、小船从河边出发驶向对岸(两岸为平行直线). 设,船行方向始终与河岸垂直,设河宽 ,河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离 的乘积成正比(比例).求小船的航行路 线 . 一、1、； 2、； 3、. 二、1、； 2、. 三、厘米/秒. 四、取0为原点,河岸朝顺水方向为,指向对 岸,则所求航线为.