在特殊微分方程中求积分因子的方法.doc

目 录 1引言 １ 2 １ 3 ２ 3.1 ２ 3.2 ５ 4 ６ 4.1 ６ 4.1.1观察法 ６ 4.1.2分组凑微分法 ８ 4.1.3重新组合法 ９ 4.1.4公式法 ９ 4.2特殊结构微分方程积分因子的求法 １０ 5 １３ １４ １５ Department of Mathematics, the 1104 squad Yang Hai-xia Instructor: Wang Peng-fei Abstract: This article discusses the differential equation with special necessary and sufficient condition for existence of integrating factors, mainly discusses the several basic methods for solving integral factor, including the method of observation group differentiation to set legal formula method and the differential equation to satisfy some special conditions, combined with case study how simple and effective for its special method of integrating factor, so as to improve the efficiency of solving differential equations, easily find out the general Keywords: differential equations; integrating factor; sufficient and necessary condition; solving method 1引言 微分方程是数学分析的主要部分，也是高等分析里大部分思想和理论的根源。其积分因子的相关内容并不是很多，因此我们在学习的过程中很难理解和掌握，而且求积分因子的方法和过程具有更大的灵活性与技巧性，那么在解题过程中怎样才能简单、有效地求出结果呢？正确求解积分因子的前提是对求解方法相当熟练，在此基础上再仔细观察微分方程的结构特点，灵活使用各种方法，从而可以顺利地求出积分因子，便捷地求出其通解。本文通过对各种题型、各种解题方法的分析探究，总结归纳了求解积分因子的基本方法和几种特殊结构微分方程的解法，希望可以提高求解积分因子的速度，从而提高求解微分方程的效率。 很多学者在微分方程积分因子方面已经作了一定的研究，但主要是针对一般的方程，给出的也是一般的积分因子及积分因子的构造方法，目前的研究在关于求积分因子的系统性方面还有待进一步探讨，以求更加深刻。本课题在原有研究的基础上进行了更多方面的研究，更加系统地对积分因子的存在性及求法进行阐述，下面结合实例讨论特殊积分因子法求解满足特殊条件的微分方程。 2微分方程积分因子的概述 本文中，我们将研究微分方程 （1） 对于微分方程（1），如果存在可微函数,使得 即 , 则称（1）为全微分方程或恰当微分方程，那么(是任意常数)是方程（1）的通解。 对于微分方程（1），如果存在不恒等于零的连续可微函数，使得方程 （2） 是全微分方程，则称是微分方程（1）的积分因子。通过计算得，是（1）的一个积分因子的充要条件是：，即： 3各种类型微分方程积分因子的存在性 3.1微分方程具有特殊积分因子的充要条件 本文中，我们讨论微分方程具有特殊积分因子的充要条件，接下来给出定理：方程具有形状的积分因子的充要条件是：，且其积分因子为：。 证明：有积分因子的充要条件是： 令 上式可变型为 即 所以方程具有形状的积分因子的充要 条件是： 在此可以得出其积分因子为： 根据这个定理可以得出下面一些特殊类型积分因子的充要条件： 类型1：方程具有特殊积分因子的充要条件为： 例1：求微分方程 的通解。 解： 则方程有积分因子，且通解为(是任意常数) 类型2：方程具有特殊积分因子的充要条件为： 例2：求微分方程的通解。 解： 则方程有积分因子 ，且通解为(是任意常数) 类型3：方程具有特殊积分因子的充要条件为：