孙炳达版《自动控制原理》第4章控制系统的根轨迹分析法-2.ppt

4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 方法二：由特征方程可知，该系统为三阶系统，列劳斯表 若根轨迹与虚轴相交，则表示系统存在纯虚根，该点对应的Kg使系统处于临界稳定状态，因此 又因为一对纯虚根必为数值相同，符号相反的根，所以用劳斯表s2行的系数可以构成辅助方程。 4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 9 出射角与入射角 出射角：根轨迹离开开环复数极点处切线与正实轴的夹角。 入射角：根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角。 ? j? 开环极点 开环零点 出射角 ? ? j? 开环极点 开环零点 入射角 ? 4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 θzj——除被测终点外，所有开环有限零点到该点矢量的相角； θpi——除被测起点外，所有开环极点到被测极点矢量的相角。 例 系统零极点分布如图，试确定根轨迹离开复数共轭极点的起始角。p1=-1+j1，p2=-1-j1，p3=0，p4=-3，z1=-2 根据对称性，可知 p2点的出射角为： 注意：相角要注意符号：逆时针为正，顺时针为负； 注意矢量的方向。 解： tanj 1=1 j 1=45° θ2=90° θ3=135° tanθ4=0.5 θ4=26.6° 取k=0(考虑到周期性)： θp1= -26.6° θp2 = -θp1= 26.6° 4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 例 系统开环传递函数如下，试绘制该系统概略根轨迹。 3.渐近线： 解： 2.实轴上的根轨迹： 1.开环零极点： n-m=1，只有一条180o渐进线。 4.分离点： 无分离点。 (－∞，-2.5] [-1.5，0] 4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 ? ? ? ? -1 -2 108.5° 90° 59 ° 37 ° 19 ° 56.5 ° 5.出射角： 4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 ? ? ? ? 90 ° 121 ° 153 ° 199 ° 63.5 ° 117 ° 入射角： 4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 概略根轨迹图 4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 10 走向 设系统的闭环特征方程为 当n-m=2 时，根之和为不变系数，即 所以当开环增益Kg增大时，若闭环某些根在S平面上向左移动，则另一部分根必向右移动。这对于判断根轨迹的走向很有意义。 4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 序 内容 规 则 1 起点 终点 起始于开环的极点，终止于开环传的零点（包括无限零点） 2 分支数 等于特征方程的阶数或 开环传递函数的极点数（n?m） 3 对称性 对称于实轴 4 实轴上分布 实轴上的根轨迹在实轴的某一区间内存在根轨迹，则其右边开环传递函数的零点、极点数之和必为奇数 5 渐近线 相交于实轴上的同一点： 坐标为： 倾角为： 4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 序 内容 规 则 6 分离点 会合点 7 出射角 入射角 复极点处的出射角： 复零点处的入射角： 8 虚轴交点 （1）将s=jω代入系统特征方程，令实部和虚部分别等于零，求出ω和对应的K值。 （2）由劳斯判据求得，若劳斯表第一列中有一为零项，且其余各项都具有正号，则系统为临界状态，即有零根或虚根。 1、 求出S值（即可能的分离点和会合点） 2、 3、 s对应的Kg值为正时，才是实际的分离或会合点。 ——除被测终点外，所有开环有限零点到该点矢量的相角。 ——除被测起点外，所有开环极点到被测极点矢量的相角。 自动控制原理 第四章 控制系统的根轨迹分析法 4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 一、根轨迹的幅值条件和相角条件 一般的闭环系统结构框图如图所示，其特征方程为： 其开环传递函数： 由等式两边幅角和相角分别相等的条件可得： 4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 以上两式分别称为根轨迹的幅值条件和相角条件。 在S平面上的任一点，凡能满足以上条件的，就是系统特征方程的根，就必定在根轨迹上。 注： 当闭环系统为负反馈时，对应的轨迹为180°根轨迹； 而正反馈系统的轨迹为零度根轨迹。 4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 开环传递函数通常可以写为（零极点形式）： 其中Kg——开环传递系数 zj 和 pi ——开环零点和极点 因此，幅值条件可表示为： 或 4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 相角条件为： 其中αj——开环零点到S的矢量角 βi ——开环极点到S的矢量角 注： 在测量相角时，规定以逆时针方向为正。 4.2 绘制根轨迹的基本