守恒定律与微分方程建模.ppt

守恒定律与微分方程建模 连续性方程： 解决问题：流体流动、传热和交通等问题 单位体积的物理量分布 t时刻流域τ上流体的总物理量为 t+Δt时刻的包络线所围体积为 （1） 以控制面（C.S.）为边界，第二、三项极限 其中S1为C与A+B之公共表面，上式表示单位时间从表面S1移出的物理量 第二项： 第三项 其中s2为A与A+B之公共部分，表示单位时间内从表面S2流入的物理量 上式中第一个极限 注：A+B所围的区域定义为控制体C.V.是固定的 （2） S1与S2组成控制体（A+B）的全部边界，即控制面 （3） 联立（1）,（2）和（3） 微分形式： 一般情况下 生成率和消失率 无源情况下 （连续性方程） 讨论： （连续性方程） 数学建模中经常研究的物理量 有密度，车流密度和污染物的浓度等 表示密度ρ 表示浓度c 连续性方程的物理意义表示，控制体中的物理量变化由进出控制面的通量 和控制体中生成率决定的，一般有化学反应过程，方程右边不为零。 交通流模型 2013年全国大学生数学建模竞赛A题和2014年美国大学生建模竞赛A题都是交通问题 假设：公路上行驶的车辆为连续的，可以将车流看作流体 定义： 车流量q(x,t)：单位时间内通过某点的车辆数 交通流密度ρ(x,t):单位距离上的车辆数 交通量速度场u(x,t): 车辆速度 交通流关系： 研究路段有出入口 速度—密度线性模型 速度-密度是线性关系，车流量达到最大时的密度和速度分别被称为临界密度ρc,临界速度uc 流量-密度关系： 流量-速度关系 跟驰模型 适用条件：单车道，无超车 模型假设： 1) 汽车单车道形式，无超车 2) 前后车必须保持安全距离 3) 前车改变状态，后车也要改变，且有一定滞后时间 4) 两车距离小于一定阈值时后车制动，加速度与相对速度和距离有关 模型： 积分得： 交通流处于稳定 状态，车速为u，车距为d，密度为ρ=1/d 一般 交通流方程的解法（特征线法） 初值条件 方程唯一解 假设存在一条曲线 且 物理意义：曲线 上密度不变，为常数 ，该曲线为特征线 对任意点 ，过改点的特征线与坐标轴x交点，可求出密度值 2014年美国大学生数学建模竞赛A —靠右行驶问题 题目： 在一些汽车靠右行驶的国家（比如美国，中国等等），多车道的高速公路常常遵循以下原则：司机必须在最右侧驾驶，除非他们正在超车，超车时必须先移到左侧车道在超车后再返回。 ?建立数学模型来分析这条规则在低负荷和高负荷状态下的交通路况的表现。你不妨考察一下流量和安全的权衡问题,车速过高过低的限制，或者这个问题陈述中可能出现的其他因素。这条规则在提升车流量的方面是否有效？如果不是，提出能够提升车流量、安全系数或其他因素的替代品（包括完全没有这种规律）并加以分析。 ? 在一些国家，汽车靠左形式是常态，探讨你的解决方案是否稍作修改即可适用，或者需要一些额外的需要。 ? 最后，以上规则依赖于人的判断，如果相同规则的交通运输完全在智能系统的控制下，无论是部分网络还是嵌入使用的车辆的设计，在何种程度上会修改你前面的结果？ ? 模型假设 ： 假设高速公路上所有汽车均沿车道做匀速直线运动，当汽车遇到车速比自己小的车便进行超车。 2. 根据交通法规，高速公路上的超车现象是小概率事件。 3. 超车过程的前后两个阶段的情况相同。 4. 假设高速公路每个车道的车速限定是相同的。 5. 超车率在我们考察的整条高速公路上均匀分布。 6. 在超车过程中，除超车的车外其余汽车的平均瞬时速度保持不变。 7. 不考虑路况、天气等其它因素存在的交通隐患。 符号： 宏观模型： 超车模型：  对上式求导： 是指车辆的瞬时速度的变化，是超车现象造成了车辆的瞬时速度的变化。 （1） 建立出超车持续时间T模型，即可得到 超车时间T：1）A,B车速度差的减函数；2）司机的反应延迟；3）车辆的安全距离 有效超车时间 ， 几何关系： V-t关系式复杂，数据拟合出v-t关系 求导： （2） 超车密度： （3） 将（2）、（3）带入（1） 物理意义：超车引起的密度变化，路段化为单位长度， N ρ （4） 连续性方程改写为： 积分区间[0,T] 超车贡献流量 总流量： 因超车增加的车流量，A为超车，B为被超车 结论：当交通拥挤时，超车车速和被超车车速均较小，此时超车贡献的车流量比较小；当交通流畅时，超车车速较大，