基本迭代方法.ppt

第五章线性方程组迭代解法 5.1 基本迭代方法 5.1.2 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel迭代法 5.1.1 迭代公式的构造 第五章 线性方程组的迭代解法 教学目的 1. 掌握Jacobi迭代法，G-S迭代法解大型线性方程组的方法及其收敛性的判别方法； 2. 掌握SOR迭代法及收敛的必要条件(0ω2 )； 3. 了解三种迭代法之间的改进关系从而掌握该思想方法； 4. 理解迭代法基本定理。 教学重点及难点 重点是三种迭代法及收敛性的判别方法； 难点是迭代法基本定理及三种迭代法收敛定理的证明。 第5章 线性方程组的迭代解法 首先看一个形成大型方程组的例子。考虑下面的Poisson方程 的离散逼近，其边界条件为： 取 进行网格剖分,用二阶导数,按逐行自左至右和自下而 上的自然次序离散华可得下列线性方程组 其中　　　　　　　　　　　是　　　　　　　　　的近似值。这是一 种特殊形状的稀疏矩阵。随着　　和　　的减少，所得到的方程组的阶 数将增大。 　　对于大型线形代数方程组，常用迭代解法。它是从某些初始向量出 发，用设计好的步骤逐次算出近似解向量　　，从而得到向量序 列 。 　 　　 一般　　　的计算公式是 　　 称之为多步迭代法．若　　　只与　　有关，且　　是线性的，即 　　　　　　　 其中 ，称为单步线性迭代法， 称为迭代距阵。若 和 都与k 无关，即 称为单步定常线性迭代法。本章主要讨论具有这种形式的各种迭代方法。 5.1 基本迭代方法 5.1.1 迭代公式的构造 设 ， ，A非奇异， 满足方程组 Ax=b。 （5.1.1） 如果能找到距阵 ，向量 ，使 可逆，而且方程组 x=Bx+f (5.1.2) 的唯一解就是方程组（5.1.1）的解，则可从（5.1.2）式构造一个定常的线 性迭代公式 （5.1.3） 给定初始向量 , 由(5.1.3)可以产生序列 ,若它有极限 , 显然 就是(5.1.1)和(5.1.2)的解。 定义 5.1 若对任意初始向量 ，迭代公式（5.1.3）产生的 序列 都有 则称迭代法（5.1.3）是收敛的。 从（5.1.1）出发，可以由不同的途径得到各种不同的等价方程组 （5.1.2），从而得到不同的迭代法（5.1.3）。例如，设A可以分解为 ，其中M非奇异，则由（5.1.1）可得 令 就可以得到（5.1.2）的形式。不同的分解方式 ，可的不同的 B 和 f , 下面给出对应不同分解方式的常用迭代 计算公式。 5.1.2 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel迭代法 1. Jacobi 迭代法 记 ， 可以把 A 分解为 （5.1.4） 其中 现设D非奇异，即 。方程组（5.1.1）等价于 用