归纳、猜想、论证.ppt

* * 上海市嘉定区封浜中学：杜正荣 电话：021Email:duyunchao@ 思想方法 例题 练习题 小结 思考题 ? 数学方法 实验、观察、归纳、猜测、论证 数学史上的著名猜想 数学学习活动中的猜想 猜想的方法-合情推理 ? ? 不完全归纳法 完全归纳法 不完全归纳法 由一系列特殊事例得出一般规律的推理方法。 完全归纳法 枚举法、数学归纳法 数学史上的著名猜想 1.费尔马猜想 +1=3 +1=5 +1=17 +1=257 +1=65537 +1=641×6700417 都是素数，一天，法国数学家费尔马似有所悟。他继续实验 经试验，它们都是素数。那么 +1 “如 （n为非负整数）形式的数都是素数。”这是在1640 年提出的一个猜想。 经过100年，到了1732年，俄国数学家欧拉举出一个反例： 否定例这一猜想。 2.歌德巴赫猜想 1742年的一天，歌德巴赫在纸上写下了一串等式 6=2+2+2， 8=2+3+3， 10=2+3+5， 12=2+5+5， 11=3+3+5， 9=3+3+3， 7=2+2+3， 13=3+5+5， 14=2+5+7，… 他按耐不住兴奋，写信告诉欧拉说，他想冒险发表下列猜想： “大于5的任何自然数是3个素数之和。” 这一猜想至今仍无人能够证明，我国数学家陈景润是目前取得成果最好的。 这就是一个好问题的巨大价值！好猜想的历史意义！ 例题1、顺次计算数列1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1，…的前四项的值。由此猜测 an=1+2+3+…+(n-1)+n+(n-1)+…+3+2+1的结果，并用数学归纳法加以证明。 解： 容易看出，1=12， 1+2+1=22， 1+2+3+2+1=32， 1+2+3+4+3+2+1=42 an=1+2+3+…+(n-1)+n+(n-1)+…+3+2+1 =n2. 下面用数学归纳法证明 （1）当n=1时，等式显然成立。 （2）假设当n=k时等式成立，即ak=k2,那么当n=k+1时， ak+1=1+2+3+…+k+(k+1)+k+…+3+2+1 = ak+(k+1)+k =k2+2k+1 =(k+1)2等式也成立。 根据（1）、（2）可以断定，等式对于任何自然数n都成立。 从而猜测： 例题2、顺次计算数列 的前 四项的值。由此猜测 的结果，并用数学归纳法加以证明。 (1- )(1- )(1- )(1- ) …(1- ) 1- ,(1- )(1- ）, (1- )(1- )(1- ),(1- )(1- )(1- )(1- ) … 解： 原数列为 其中各项的分子依次为3，4，5，…，n+2,…,分母依次为4，6，8,…,2(n+1),…, 从而猜测： 下面请你用数学归纳法证明 例题3. 的前5项的值，由此猜测数列{n(n+1)}的前n项和的公式，并用数学归纳法加以证明。 解： 从而猜测： 即 1·2+2 ·3+3 ·4+ · · ·+n ·(n+1)= n(n+1)(n+2) 计算数列 下面请你用数学归纳法证明 练习1： （1）凸n边形的对角线条数为 . （2）已知f(x)=2x/(x+2),若xn=f(xn-1)(n?N,n?2)，则x2= ,x3= , x4= ,猜测xn= . （3）已知平面内有n条直线，且任两条不平行，任三条不过同一点.若该n条直线把平面分成f(n)个区域，则f(n+1)=f(n)+ . n?N. n+1 练习2： 1.顺次计算数列-1，-1+3，-1+3-5，-1+3-5+7，…的前四项的值，由此猜测an= -1+3-5+…+(-1)n(2n-1)的结果，并用数学归纳法证明。 练习2： 2.顺次计算数列13，13+23，13+23+33，13+23+33+43，…的前四项的值，由此猜测an= 13+23