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平面向量数量积的坐标表示 * 平面向量数量积 复 习 1.已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则 a·b= a b cos . a·b称为向量a与b的数量积(或内积). θ 2.数量积a·b等于a的长度 a 与b在a的方向上的 投影 b cos 的乘积. θ 6. a·b ≤ a b . 3. a⊥b a·b=0. 4. a·a= a 2=a2. a·b a b 5. cos = . θ 复习题1 已知: a =4,b =5,a·b=10, 求:a与b的夹角θ. θ =60°. 解:设a与b的夹角为θ ,则 cos = = , a·b a b 1 2 θ 复习题2 已知:A(2,1),B(3,2),C(–1,4), 求证:?ABC是直角三角形. 分析:先画图, A B C O x y 从图中可知,∠A应为90°,为证明∠A=90°,只需证明 AB · AC=0. 复习题2 已知:A(2,1),B(3,2),C(–1,4), 求证:?ABC是直角三角形. A B C O x y 由AB·AC= AB AC cosA 可知,为了证明AB·AC = 0,需先得出 cosA = 0,需先 证明∠A为90°,而这正是最终要证明的结论. 平面向量数量积的坐标表示 新 课 在坐标平面xoy内,已知a=(x1,y1),b= (x2,y2),则 a·b=x1x2+y1y2. 即 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. a·b=x1x2+y1y2 证明:设x轴、y轴方向的单位向量 分别是i、j,则 a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j) =x1x2i·i+ x1y2i·j+ y1x2j·i+ y1y2j·j =x1x2+y1y2. 已知:A(2,1),B(3,2),C(–1,4), 求证:?ABC是直角三角形. ∴ AB⊥AC. 证明: AB=(3 – 2,2 – 1)=(1,1), AC=(– 1 – 2,4 – 1)=(– 3,3), ∵ AB · AC=1×(– 3)+1×3=0, ∴ ?ABC是直角三角形. 由向量数量积的坐标表示,可得 (1)若A、B坐标分别为 (x1,y1)、 (x2,y2),则 |AB| =√(x1-x2)2+(y1-y2)2 (2)设 a=(x1,y1),b= (x2,y2),则 a⊥b x1x2+y1y2=0 (a∥b (b≠0) x1y2-x2y1=0) A (x1,y1) O x y B (x2,y2) ( |AB|2 = AB·AB = (x1-x2)2+(y1-y2)2 ) 例 1 已知a=(1,√3 ),b=(– 2,2√3 ), (1)求a·b; (2)求a与b的夹角θ. 解:(1)a·b=1×(–2)+√3×2√3=4; b =√(– 2)2+(2√3 )2 =4, (2) a =√12+(√3 )2=2, cos = = = , 4 2×4 a·b a b 1 2 θ ∴ =60o. θ 例 2:已知a=(5, 0),b=(–3.2, 2.4), 求证:(a+b)⊥b . 证明: ∵(a+b)·b =a·b+b2 =5×(–3.2)+0×2.4+(–3.2)2+2.42 =0, ∴ (a+b)⊥b . 例 3:已知:A、B、C三点坐标分别为(2,0)、 (4,2)、(0,4),直线 l 过A、B两点,求点C到 l 的距离. H O A B C x y l 分析一:如图, 为求CH长,由CH=AH-AC可知,关键在于求出AH. 由AC·AB的几何意义,AC·AB等于AB的长度与AC在AB方向上的投影的乘积. 所
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