时间序列-AR模型.ppt

类似的,当k0时,其自相关函数为 特别地，AR(1)序列的方差函数为 其自相关系数为 因为|α| 1 ，故相关系数依指数规律向零衰减。 例2.1 试求AR(1)序列 的平稳解与自相关函数。 的系数多项式为 故得其平稳解为 而自相关系数为 4. AR(2)序列的平稳解与自相关函数 因此,求AR(2)模型的平稳解,即化为求线性转移函数的权系数问题. (1) 线性转移函数的权系数求法 对比上述等式两端B的同次幂的系数，可得系数方程组： 易见权系数满足二阶齐次线性差分方程组 分两种情形讨论: ⅰ) 若自回归多项式有两个不等实根u1与u2时，AR(2)模型的一般解为 ⅱ)若自回归多项式有两相等实根u，则AR(2)模型的一般解为 （2）AR(2)序列自相关函数的求法 由AR(2)模型的平稳解知 故当k0时，其自相关函数为 综述为 用上式求得AR(2)序列的自相关函数是比较困难的，在实际中常采用另一种简便有效的方法: 设h0，因εt与xt互不相关，故用xt-h乘以AR(2)模型等式两端，再取数学期望，即得 上述递推式称为AR(2)序列的Yule-Walker方程。 利用Yule-Walker方程求AR(2)序列的自相关函数方法即称为尤尔-沃克法. 注：由于此处均值函数为0，其自相关函数与自协方差函数相等，为分析简单起见，我们将自相关函数作为自协方差函数，即表示为 而将自相关系数: 称为自相关函数。 因此，由Yule-Walker方程可得 其初值为 下面分三种情况讨论在上述给定初始条件下,自相关函数的差分方程的解: 再根据初值条件,自回归系数方程的根与系数的关系得 即得 由上式可看出，当自回归系数方程的根的两实根都在单位圆外部时， ρ(k) 随k的增大，向零衰减，若两实根中至少有一个在单位圆内部时，则ρ(k)发散。 AR(2)序列的平稳域: 平稳域图形见下图： ?2 2 1 -2 0 ?1 -1 -1 1 * * 一、自回归模型的定义 二、中心化模型 三、平稳AR(p)模型的平稳解 四、自回归模型的阶数的估计 五、自回归模型的参数的估计 六、自回归模型的检验 七、自回归模型的预报 时间序列分析最重要的应用是分析和表征观察值之间的相互依赖性与相关性，若对这种相关性进行量化处理，那么就可以方便地从系统的过去值预测将来的值。 在数理统计中讨论的数据的线性回归模型, 很好地表示了因变量yt的观察值对自变量观测值xt1,xt2,…xtp的相关性，解决了他们之间的相关性问题，但是，对一组随机观测数据，即一个时间序列内部的相关关系它却描述不出来。即它不能描述数据内部之间的相互依赖关系。 另一方面，某些随机过程与另一些变量取值之间的随机关系，往往根本无法用任何函数关系式来描述，这时就需要采用这个时间序列本身的观测数据之间的依赖关系来揭示这个时序的规律性。 一、自回归模型的定义 定义2.1 设{xt,t=0,±1,±2,…}为时间序列，白噪声序列为{εt,t=0,±1,±2,…} ，且对任意的 st，E(xsεt)=0,则称满足等式 的时间序列为p阶自回归（Autoregression）序列,上式为p阶自回归模型，记作 AR(p) . 易见,此自回归模型描述了数据序列内部的递推的线性回归关系。 例1.1 单摆现象：单摆在第t个摆动周期中最大摆幅记为xt，由于阻尼作用，在第t+1个摆动周期中，其最大振幅为 其中 ?为阻尼系数。若再受到外界干扰εt的影响，则实际上的最大振幅为 易见, 此例即为一个一阶自回归模型 AR(1)。 一般的, 在AR(p)模型中的系数多项式 称为AR(p)模型的自回归系数多项式。 若α(u)=0的根都在单位圆外时，称此为平稳的AR(p)模型，否则为非平稳的AR(p)模型，或广义的AR(p)模型。 注： 条件α(u)=0的根都在单位圆外，称为平稳性条件。 例1.2 如果时间序列xt 满足 试问此xt是否为平稳的序列模型。 解： 因为其自回归系数多项式为 易见,α(u)=0的根为3/21,所以这是平稳的AR(1)模型。 例1.3 如果时间序列xt满足 试问此xt是否为平稳的序列模型。 解：由于其自回归系数多项式为 的根为u1=21与u2=1/21, 故知其根不都在单位圆外，所以这是非平稳的AR(2)序列模型。 自回归模型是描述系统内部的回归关系，故称为自回归，与通常的线性回归性质是不一样的。 二、中心化 AR(p) 模型 设{xt}为平稳序列，且有 则对上式两端同取数学期望，即得 由于{xt}为平稳序列，故 即得 则可得一个均值为0的新序列： 此时wt 称为xt 的平稳中心