模式识别随机向量的概率.ppt

复习1 随机向量的概率 这一章复习一些概率和随机变量/向量的概念，这些对于后面的学习是很重要的 一. 事件的概率 令A、B、C … 表示事件，这些事件的概率是[0，1]间的实数，记为Pr[A]、Pr[B]、Pr[C] 必然事件的概率是1 不可能事件的概率是0 对任意事件A， （对立事件） A和B同时发生的概率  如果A1，A2，…，AM是两两互斥的完备事件组，则 二.? 概率分布和密度函数1. 单个随机向量的分布和密度函数 令X是一个随机向量，它的每一分量都是一个随机变量。 令 是X的一个取值，其中 都是固定的实数值 则事件： 的概率是 的函数。这个函数称为随机向量x的分布函数。定义为： 由上面分布函数的定义，显然有： 概率密度函数定义为分布函数对所有分量的导数： 概率分布函数和密度函数之间还满足如下的积分关系：  对于事件： 有： 上式近似成立的条件是：要充分小，以使 的变化较小 这意味着，在 点的概率密度正比于随机向量 落在附近的小邻域内的概率。密度函数越大，这个概率越大 。 但 等于 的概率为0。（连续时） 容许奇异时，也有可能 2.随机向量的联合分布和密度函数 令X和Y是随机向量，可以把前面定义的对单个随机向量的分布和密度函数的概念推广到X和Y的联合概率分布和密度函数上去。 实际上，单个随机向量是它的各个分量的联合，只要再扩展到Y就行了 由定义，下面的等式成立： （c）和（d）意味着: x和y的概率密度可以通过对x和y的联合概率密度的积分得到： 以上两式得到的称为X和Y的边缘密度函数。 联合分布的随机向量x、y的另一个重要关系是： 在 附近，同时 在 附近小区域内的概率近似等于 和小区域体积 例1：一个两维随机向量和一个一维随机变量的联合密度函数： 求事件 的概率和边缘密度： ， 注意：不要忘记积分区间 2. 边缘密度为： 3.?? 随机向量和事件的联合分布和密度函数 一个随机向量 和一个事件A的联合分布函数定义为： 三. 条件概率和贝叶斯规则 1. 事件的条件概率 令A、B是两个随机事件，B发生后A发生的条件概率为： 2. 条件分布和密度函数 由（1）式的基本形式，可以推导出下面的几种条件分布和密度函数。下面的公式推导和无条件概率分布与密度函数相似，不再多讲。 （1）以一个事件为条件的分布和密度函数 若A是事件 ，B是另一个事件，则 上式两边微分，可得到密度函数 (2) 以随机向量为条件的一个事件的概率 令A是任一事件，B是事件 (3) 随机向量的条件密度函数 令A是事件 , B是事件 则由前面的定义和公式有： 3. 贝叶斯公式 由于事件A和B的联合概率等于事件B和A的联合概率，所以由条件概率公式有： 上面的几种贝叶斯公式对统计模式识别都是非常重要的 如(5)式， 称为先验概率，随机向量X和Y间有某种关系，在X发生后Y的密度函数是对先验概率的一种改善，称为后验概率。 例：一个两维随机向量的密度函数为： 另一随机向量X，它和Y有关，其条件密度函数为： 求联合密度 ，并计算后验密度 解：1. 联合密度为： 注意：1. 积分限要注意。2. 上式没有显式解，要用数值方法求解。 3. 如果Y的先验密度是 四. 数学期望 一个随机向量X的期望（或称均值）是一个常数向量M，定义为 上式对所有的 ， 的分量积分，有： 性质： 1. 随机向量或变量和的期望等于期望的和； 2. 相互独立的随机变量和的方差等于方差的和 下面考虑只取离散值的随机变量。它没有概率密度函数（除非使用奇异函数）。 则期望 ： 五. 小结 这一章复习了随机事件和随机向量的概率，复习了 应该理解这些定义、概念，理解一些公式推导的思路、思想。 理解分布函数、密度函数和事件概率间的关系。 理解联合概率和条件概率间的区别。 理解独立性及其对概率、分布和密度函数的影响。 掌握Bayes公式的各种形式。 第二章 统计决策理论 最小错误率贝叶斯决策 最小风险贝叶斯决策 Neyman－Pearson决策（在限定一类错误率的条件下，使另一类错误率最小的两类决策问题） 最小