数值分析课件第三章.pptVIP

§1 函数逼近的基本概念 §2 正交多项式 §3 最佳平方逼近 §4 曲线拟合的最小二乘法 §5 有 理 逼 近 3.5.2 帕德逼近 §6 三角多项式逼近与快速傅立叶变换 根据定义，若令 则满足条件（5.8）等价于 即 由于 应用莱布尼兹求导公式得 这里 是由（5.6）得到的， 上式两端除 ， 并由 可得 （5.9） 及 （5.10） 注意当 时 故（5.10）可写成 （5.11） 其中 时 ， 若记 （5.12） 则方程组（5.11）的矩阵形式为 定理11 （5.7）的有理函数 是 的 阶帕德逼近的 充分必要条件是多项式 的系数 及 满足方程组（5.9）及（5.11）. 设 则形如 根据定理11, 求 的帕德逼近时，首先要由（5.11） 解出 的系数 ， 的系数 . 的各阶帕德逼近可列成 再由（5.9）直接算出 一张表，称为帕德表（见表3-4）. 例10 求 的帕德逼近 及 . 解 由 的泰勒展开 得 当 时，由（5.11）得 求得 再由（5.9）得 于是得 当 时，由（5.11）得 代入（5.9）得 解得 于是得 可以看到这里得到的 及 与 的前面 为了求帕德逼近 的误差估计，由(5.9)及(5.11) 求得的 系数 及 ，直 接代入则得 将 除上式两端，即得 连分式展开得到的有理逼近（5.4）结果一样. （5.13） 其中 当 时可得误差近似表达式 当 是周期函数时，显然用三角多项式逼近 比用代数多项式更合适，本节主要讨论用三角多项式做最 小平方逼近及快速傅里叶变换，简称FFT算法. 1、最佳平方三角逼近与三角插值 设 是以 为周期的平方可积函数，用三角多 项式 （6.1） 做最佳平方逼近函数. 由于三角函数族 在 上是正交函数族，于是 在 上的最佳 平方三角逼近多项式 的系数是 最佳平方三角逼近 称为傅里叶系数. 函数 按傅里叶系数展开得到的级数 （6.3） 就称为傅里叶级数. （6.2） 因为右边不依赖于 ，左边单调有界，所以级数 收敛，并有 最小二乘三角逼近与三角插值 离散傅立叶变换 2、快速傅立叶变换(FFT) 作业 P117, 22. 二、用正交函数族求最佳平方逼近 一、拟合问题的提出及其最小二乘法 x y O + + + + + + + + + 例9 已知实测数据表 试用最小二乘法求多项式曲线与此数据组拟合. 4 4.5 6 8 8.5 2 1 3 1 1 yi ωi 1 2 3 4 5 xi 例10 已知实测数据表 5.10 5.79 6.53 7.45 8.46 1.625 1.756 1.876 2.008 2.135 yi ui =lnyi 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 xi 试求它的最小二乘拟合. … 二、用正交多项式作最小二乘拟合 用MATLAB作多项式最小二乘拟合 1. 作多项式 f (x)=amxm+ …+a1x+a0 拟合,可利用已有程序: a= polyfit (x,y,m) 输出拟合多项式系数 a=[am, …a1 , a0] (数组) 输入同长度 的数组x，y 拟合多项 式次数 2.多项式在x处的值y可用以下命令计算： y=polyval（a，x） 例 : 对下面一组数据作二次多项式拟合 即要求 出二次多项式: 中 的 使得: 最小