数学分析第四章课件微商与微分.ppt

第四章 微商与微分 §1 微商的概念及其计算 3. 可导与连续的关系 4. 微商的计算 微商的四则运算法则 反函数微商法则 §2、微分概念及其计算 (1) 函数在什么条件下可微？ (2) A到底是什么？ §3．隐函数与参数方程微分法 2．参数方程微分法 §4．高阶微商与高阶微分 1．高阶微商的概念 补充题 作业 P103:16.17.19 P111:2.3.4 P122:3.5.12 ，求 解： 可视为 和 的复合，故 例7 例8 ，求 = 解 可视为 的复合，故 设 ，求 例9 解 可视为 的复合，故 设 （x-1），求 两边取对数得 解 上式两边对x求导得 例10 因此 设 ，求 解 两边取对数 再两边对x求导得 故 例11 例10 和 例11 采用的方法也称为对数求导法，它简化求导运算。例11也可用链式法则求得。 因为 ，所以 函数 是初等函数，故在定义域内连续，但 故 点不可导。当 时有 几何上表示曲线在x=1处的切线平行于y轴。 下面再举两个说明函数在一点连续但并不可导的例子。 例12 设 当 时，函数 是可导的： 显然 在 连续。由于极限 不存在，故 在 点不可导。我们知道，当 时， 不断地在1和-1之间摆动。从图形上看就是当Q点沿曲线趋于原点时，割线OQ在直线 之间摆动。 例13 注意，并不是割线不断摆动就无切线。例如函数 有 故 可见 在 点可导，事实上在0点割线的斜率 也是不断摆动的，但它有个极限位置 y = 0. 复习 1、可导和导数（微商）的概念 2、无穷小的比较 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 面积的增量为 关于△x 的线性主部 高阶无穷小 时为 故 当 x 在 取 得增量 时, 变到 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 引例14 边长由 其 一. 微分的概念 称为函数 在 的微分 一般：函数 ,给自变量一个改变量 相应地函数改变量 是否也可分成类似的两部分 从而有定义：（可微、微分） 设 在 有定义，如果对给定的 ，有 其中A与 无关，则称 在x点可微 ，并称 为函数 在点x的微分，记为： 或 上述定义中有两个概念，一个是可微的概念，另一个是微分的概念。注意：dy 既与 x 有关又与 有关. 定义4.2 从定义可知，微分具有两大特性： (1)微分是自变量的改变量的线性函数容易计算； (2)微分与函数的改变量 之差是比 高阶的无穷小量 问题： 思路（讨论）：先看在可微的条件下：可推得什么结果？再看：反过来是否成立？（当然希望成立） 在 点可微 在 点可导且 反之：设 在 点可导。则… 从而有… 于是 若 ，则 于是 即自变量的微分等于自变量的改变量。从而 微商就是微分之商 定理4.5： 函数 在 点可微的充要条件是： 函数 在点可导。 这时微分中 的系数 证: “必要性” 已知 在点 可微 , 则 故 在点 的可导, 且 “充分性” 已知 即 在点 的可导, 则 二 微分的几何意义 当 很小时, 则有 从而 导数也叫作微商 切线纵坐标的增量 自变量的微分, 记作 记 由定理4.5知 从微商公式表可得微分公式表， 从微商公法则可得微分法则。 当u为自变量时，函数 的微分为 当 不是自变量时，而是x的函数 时，如何？ 三．微分公式与运算法则： 重点指出： 由微分与微商的关系： 而 ，故 因此：无论u是自变量还是中间变量， 微分形式 保持不变，这一性质称为一价微分形式的不变性 。 ，当 很小时 特别 常用：1） 2） 3） 四．微分在近似计算中的应用 前面讲过的函数关系都是用 有时自变量与因变量的对应法则由一个方程确立，即函数关系 隐藏在一个方程中， 例. 一般地： ，确定了隐函数： 例1． 方程 可以确定隐函数 和 它们都是连续函数。 但也可以确定隐函数 它在 点不连续。 1、隐函数微分法 形式给出的称为显函数， 而有些隐函数却不能简单地解出， 假定在一定条件下， 方程 可以确定隐函数 并且是可导的：求 例2： 由方程 确定隐函数 ，求 解： 将 代入方程， 则方程为恒等式，即有 将 视为复合函数，在恒等式两边对x求导， 得恒等式 解得 例： 也可以利用微