江苏省专转本高等数学第三节 极限的运算法则第四节 无穷小(量)和无穷大(量).ppt

共扼因子法 解 解 变量代换法 例6 例7 * 例8 解 先变形再求极限. * * * * * * * * 第三节 极限的运算法则 定理 证略 * 说明： 1. 有两层意思: (1) 在lim u和lim v都存在的前提下， lim(u+v)也存在； (2) lim (u+v)的数值等于 lim u+ lim v. 2. lim (u+v)存在, 不能倒推出lim u和lim v 都存在. 3. 若lim u存在,而 lim v不存在,则lim (u+v)必不存在. 4. 可推广到有限多项. 反证: 若 lim (u+v) 存在, 已知 lim u 存在, 由定理知 lim v 存在, 矛盾 * 推论1 推论2 例1 * 例2 解 * 解 例3 消零因子法 * 一、无穷小(量) 定义 以零为极限的函数(或数列)称为无穷小(量). 例如, 注: 1.无穷小是变量,不能与很小的数混为一谈; 3.零是唯一可以作为无穷小的数. 2.称一个函数是无穷小，必须指明自变量的变化趋势. 第四节 无穷小(量)和无穷大(量) * 无穷小和极限的关系: 定理 变量 y 以A为极限的充分必要条件是：变量 u 可以表示为 A 与一个无穷小量的和。即 lim u = A ? u = A+a ， 其中a 是无穷小 。 证略. 定理表明： 极限概念可以用无穷小量概念来描述. 无穷小量的性质： 1°?有限多个无穷小量之和仍是无穷小量； 定理 2°?无穷小量与有界变量之积仍是无穷小量； 3°?有限多个无穷小量之积仍是无穷小量。 * 例1 解 ? * 例2 例3 * 二、无穷大(量) 定义 如果变量u在其变化过程中|u|无限增大，则称u为无穷大(量)，记作 精确定义： 1. 无穷大量是一个变量，不可与很大很大的数 混为一谈； 2. 称函数是无穷大量，必须指明其自变量的变 化趋势。 注: * 证 得证. x o y 例4 * 无穷大量与无界变量的关系 (1) 无穷大量显然是无界变量； (2) 但无界变量不一定是无穷大量。 例如数列 再如， 但它并不是无穷大量。 * 三、无穷大量与无穷小量的关系 意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论. 例5 * 例6 解 所以原极限为-1； 所以 * 四、无穷小量的比较 例如, 比值极限不同, 反映了两者趋向于零的“快慢”程度不同. 观察各极限 下节证 * 定义： * 说明: 1、称一个变量为高阶或低阶无穷小，是没有意义的，只有在同一个变化过程中的两个无穷小比较时，才能说它们阶的高低或是否同阶. 2、在同一极限过程中的两个无穷小量，并不是总能比较阶的高低的. * 例7 * 例8 证 * 例9 证 * 例10 但是， 不存在， * 例4 解 一般, * 例5 解 * * * * * * * *