流体运动方程的应用.ppt

如果液膜沿垂直固体壁面下降，相当于 β = π /2。这时 膜内速度分布变为： 最大速度变为： 液膜厚度变为： 壁面处的剪应力变为： 单位宽度上的摩擦曳力变为 3.3 简化后的微分方程的分析 方程（3-21）为二阶线性偏微分方程，方程左侧为pd对z求导,由于pd仅仅为z的函数，因此pd对z求导只能是一个关于z的函数，或者是一个常数；同理，方程右侧uz对r求导结果只能是一个关于r的函数，或者是一个常数；而z和r又是两个相互独立的自变量，故该式两侧只有同等于某一常数C时方程才能成立。所以可将上式进一步写为 该方程的边界条件为 （3-24） （3-24a） （3-24b） 3.4 微分方程的求解 对式(3-24)两侧积分可得方程的通解: 由边界条件式(3-24a)和(3-24b)求得积分常数 由此可得速度分布式为 式中的常数C可以管内平均流速um求得。 (3-26) 根据平均流速的定义式 可得： 将速度分布方程(3-26)式代入并积分得 由此解得 于是，用管内平均流速um表示的速度分布方程为 当r=0时(管中心处)，流速取得最大值，最大流速为 如果用最大流速来表示管内的速度分布，则有 此式称为哈根-泊肃叶(Hagen-poiseuille)公式 (3-29) 流动方向上单位管长的压力损失： 3.4 速度分布方程的应用——求流动阻力和阻力系数 流体在圆管中作稳态层流时，壁面处的摩擦剪应力可由牛顿粘性定律求得： 流体在圆管中的流动阻力： 1、流动阻力： 由范宁摩擦系数的定义式得： 摩擦阻力系数λ为 2、阻力系数： 作业：P73: 2 第4节 套管内的稳态层流 4.1 套管环隙间的轴向稳态层流 在热交换器中经常遇到流体在套管环隙中的轴向稳态流动。 由于流动是轴对称的，故采用柱坐标系求解运动方程比较方便。 在这种情况下，方程的形式和简化条件与流体在圆管内稳态层流的情况是完全一致的，因此化简的后形式也是一样的。即仍满足 4.1.1 数学模型的建立与求解 只不过边界条件发生了变化，这时的边界条件变为 (3-36a） (3-36b） 对(3-24)式连续两次积分，并将边界条件代入得 式中的常数C可由平均流速求得，根据平均流速的定义式可得 将速度分布方程代入并积分，得 （3-24） 于是，不可压缩流体在套管环隙间作轴向稳态层流时的速度分布方程为： 由此解得： 4.2.2 速度分布方程的应用 （1）求套管环隙间的最大流速 套管环隙间的最大流速可以根据速度分布方程，以u对r求导得到： 解得： 将其代回速度分布方程得： （2）求套管环隙间的沿程压力降 由此可见，沿流动方向动压力梯度为一常数，即动压力沿流动方向呈线性变化，而静压力不变。于是单位管长的压力降就可以表示为 （3）求流体在套管中的流动阻力 由牛顿粘性定律 得内管外壁处的剪应力 此处取“+”是因为在内管外壁面处，速度梯度与r方向相同 将套管环隙速度分布方程代入得： 内管外壁对流体流动产生的阻力 将套管环隙速度分布方程代入得： 外管内壁对流体流动产生的阻力 外管内壁处的剪应力 此处取“-”是因为在外管内壁处，速度梯度与r方向相反 4.2 套管环隙间的周向稳态层流 流体在两个转动的长同心圆筒环隙间的周向流动(θ方向)也是一种常见的流体流动形式。用于测量粘度的旋转粘度计就是根据此原理制成的。 如图所示，同轴双层圆筒间充满不可压缩的牛顿型流体，内筒的外半径为r1，外筒的内半径为r2，当内筒以角速度ω1旋转、外筒以角速度ω2旋转时，将带动环隙内流体按切线方向作稳定的层流流动，假设圆筒足够长，端效应可以忽略，求流体在两圆筒之间的速度分布及壁面上的粘性摩擦力。 4.2.1 数学模型的建立与化简 由于是轴对称流动，因此同样取柱坐标系研究比较方便,，取r为半径方向，z为轴向，θ为周向。 (1)连续性方程的建立与化简 柱坐标下的连续性方程为 由于流体仅沿θ方向流动， 所以 因此，连续性方程可以化为： (2)r方向运动方程的建立与化简 r方向运动方程 可以化简为 简化条件 同理，θ方向和z方向上的运动方程可分别简化为 θ方向 z方向 4.2.2 微分方程的求解 由于 所以uθ仅仅是r 的函数 故θ方向化简后的运动方程可以写作常微分方程的形式 (3-47) 方程的边界条件为 对常微分方程(3-47) 连续两次积分得： 将边界条件带入得 于是，流体在两圆筒间的速度分布方程为 (3-50) 4.2.3 速度分布方程的应用——计算流动阻力及测量粘度 根据第3章的结论，柱坐标系下θ方向上的剪应力与形变速率的关系为 由于ur=0，故上式可简化为 将速度分布方程代入上式，