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实验题目 使用Haar小波和傅里叶变换方法滤波及数据压缩 指导老师：李爱国 学 生：陈立朝 学 号：16208009004 专 业：应用数学 实验报告 一、实验题目： 使用Haar小波和傅里叶变换方法滤波及数据压缩 二、实验目的 1.掌握离散数据的Haar小波变换和傅里叶变换的定义，基本原理和方法. 2.使用C++实现数据的Haar小波变换和离散傅里叶变换. 3.掌握数据滤波的基本原理和方法. 4.掌握使用Haar小波变换和离散傅里叶变换应用于数据压缩的基本原理和方法，并且对两种数据压缩进行评价. 实验步骤 1 算法原理 1.1 Haar小波变换 （1）平均，细节及压缩原理 设{x1，x2}是一组两个元素组成的信号，定义平均与细节为，。则可以将{a，d}作为原信号的一种表示，且信号可由{a，d}恢复，，。 （2）尺度函数和小波方程 在小波分析中，引入记号，其中，表示区间[0，1]上的特征函数。定义 称为Haar尺度函数。由上式可知，都可以由伸缩和平移得到。 小波分析中，对于信号有不同分辨率的表示，当用较低分辨率来表示原始信号时，会丢失细节信息，需要找到一个函数来描述这种信息，该函数称之为小波函数。基本的小波函数定义如下： 则称为Haar小波。称为两尺度方程，称为小波方程。 （3）Haar小波变换计算方法 设是一个长度为(n1)的离散信号序列，记为，该序列可以用如下的带有尺度函数来表示： 一次小波分解的结果： 对上式积分，由尺度函数的正交性，可得。令k=0，得到。 一般的，有 同理，有 2.傅里叶变换 （1）一维连续函数的傅里叶变换定义 设f(t)为连续的时间信号，则定义为f(t)的傅里叶变换，其反变换为。 （2）一维离散傅里叶变换 对连续的时间信号f(t)等间隔采样，得到离散序列f(n)。假设采样N次，则序列表示为。令n为离散变量，u为离散频率变量，则一维离散傅里叶变换及其反变换定义： 傅里叶变换的数学性质中，最重要的一点是：一个在时域或空域上看起来很复杂的信号（声音或图像）通常在频域上只集中在很小一块区域内，而很大一部分数值都接近于零。一个在空域中看起来占满全空间的信号，从频域中很可能只占用了极小一块区域，而大部分频率是被。这就一个极为的结论：一个看起来信息量很大的信号，其实可以只用的数据以描述。只要对它先做傅里叶变换，然后只记录那些不接近零的频域信息就。FFT的基本思想：将大点数的DFT分解为若干个小点数DFT的组合，从而减少运算量。 令，则F(u)可改写为。令N=2M，其中M为一正整数。带入式中，得到 ， 则有 ， 上述推导说明：对一个长度为N的序列进行傅里叶变换可以通过将其划分为2个N/2的序列进行傅里叶变换，对于N/2的傅里叶变换，可划分为两个N/4的变换，这一过程不断迭代，知道两点的序列为止，可计算出该序列的傅里叶变换。 （4）时间抽取的基2FFT蝶形算法 对于（3）中的计算方法，可以采用蝶形运算符号来表示。本实验中采用的算法是时间抽取的基2FFT算法实现快速傅里叶变换。 3. 数据压缩的评价准则 （1）数据压缩比 设原始信号f(n)的数据量大小为S，经过数据压缩后，信号的数据量变为M，一般情况下MS。则数据压缩比率的定义为： 由上式可知，数据压缩得越小，其数据压缩比越大。 （2）数据失真度 对于压缩后的数据，可以采用反变换等方式还原信号。设原信号为f(n)，还原信号为f1(n)，则我们定义还原信号与原始信号的差异为数据失真度。显然，数据恢复越接近原始信号，数据失真度越小。 4.算法步骤 （1）Haar小波方法步骤 读入原始数据f(n) 对原始数据f(n) 进行小波变换。对原始数据进行不同层级（分辨率）下的小波变换，得到不同的小波变换结果[An , Dn] 对于上步中的小波变换结果，把细节分量Dn置为0，即滤波得到压缩数据 [An] 对于滤波结果 [An]，通过小波逆变换，恢复数据 计算恢复数据与原始数据的差异，进行压缩评价 （2）离散傅里叶变换步骤 读入原始数据f(n) 对原始数据f(n)进行离散傅里叶变换。使用蝶形算法计算傅里叶变换结果F(u) 对F(u)进行滤波，保留低频成分，舍弃高频成分，即得到原始数据的近似表示 对滤波结果的低频数据，高频分量恢复为零值，使用傅里叶反变换，恢复数据 计算恢复数据和原始数据的差异，进行压缩评价 5.程序流程图 图1 Haar小波变换流程图 在图1中，原始数据存放在文本文件eggs.t