浙大《概率论》lecture6.ppt

第六讲 随机变量及其分布（二） * * 2. 连续型随机变量 连续型随机变量的例子： (1). 均匀分布 图形示范 (2). 指数分布 相应的分布函数为 ： 图形示范 (3). 正态分布 图形示范 这个积分并没有一个显性函数表示，因此人们已建立了一个表备用。 学查分布函数表 解 解 解 (4). Gamma 分布 (5). Cauchy 分布 (6). Beta 分布 (7). Weibull分布 其分布函数为 3. 一般随机变量 以上我们介绍了两类典型的随机变量及其分布： (1) 离散型随机变量取有限或可列个值，其分布可用分布列刻画，分布函数是阶梯型函数； (2) 连续型随机变量在一个或几个不相交的区间内取值，具有密度函数，分布函数是处处连续的，并具有导数。 但我们应该强调，除了这两种以外，还存在其它类型的随机变量。 在前面我们学习一类离散型随机变量，主要特点是它仅取有限或可数个值，并且取每个值的概率大于0。 但在实际问题中，我们时常需要考虑另外一类随机变量，如，随机地向区间上投点其落点的位置；日光灯泡的使用寿命；测量误差等，对于这些数量关系，我们都不可能要求它们取事先指定的可数个值。实际上，它们在、和上取值。更为重要的是，它们取每个给定值的可能性均为0。 这时，我们该怎样刻画这些随机变量呢？. 让我们从随机地向区间上投点开始，令表示其落点的位置。正如几何概率模型中所说的，取每个点的可能性都相同，并且我们可以考虑落在一个区间或一个集合内的概率。 如计算 这只与区间长度或的长度有关， 即 正如物理中计算物质质量一样，我们说具有均匀概率密度函数 不难看出具有下列性质： 2. 单调增加 1. ，， 3. 处处连续 正如前面学过的几何分布一样，指数分布也具有无记忆性，即 我们今后还会看到：指数分布和Poisson分布有着密切的联系。 其中 ，，那么称服从参数为的正态分布，记作。 当时，我们称为标准正态分布。正态分布这个名称也许首先F.Galton在1885年之前给出，它被认为是最重要的一种概率分布。根据著名的中心极限定理(以后将介绍)，在自然界和人类社会中许多现象都可由正态分布加以描述。 (1) 验证上述确实为密度函数，即 对于一般的正态分布随机变量，其分布函数可由来表示： 如果随机变量在上取值，具有概率密度函数 特别，如果，那么服从参数为 的指数分布。 一般地，考虑一个函数， 如果满足 1. 2. 那么称为上的一个概率密度函数。 注: 条件2并不是很强的限制，因为当 时，我们可以令即可得到一个概率密度函数。 条件1要求所对应的曲线完全位于 轴的上方，事实上，曲线上方的面积有着重要的概率意义。 如果一个随机变量满足 , , 那么称为连续性随机变量，具有概率密度函数。 (注意：这里实际上要求 F , ) 这时，对任何，定义 称为的分布函数。 从微积分学基本结果知，如果是连续函数，那么是的导数，即。如果不是处处连续的函数，那么在的连续点处，仍有。 注：对于连续型随机变量，我们更多地使用密度函数，因为它常常更简洁、更具有特色。 如果随机变量在上取值，并且取每个值是等可能的，即具有概率密度函数 那么称服从上的均匀分布，记作。 相应的分布函数为 如果随机变量在上取值，具有概率密度函数 其中， 那么称服从参数为的指数分布分布，记作。 如果随机变量在上取值，具有概率密度函数 (2) 分析的图形性质和特点 (3) 人们通常用表示标准正态分布的分布函数， 即 例. 设, 求. 例. 设, 求, , 以及. 正态随机变量的99.73 %的值落在 之中, 落在该区间之外的概率几乎为零. 这情况被实际工作者称为“3σ原则” 例.从南郊某地乘车到北区火车站有两条路可走，第一条路较短，但交通拥挤，所需时间服从 分布；第二条路线略长，但意外阻塞较少，所需时间服从. 若有70分钟可用，问应走哪一条路？ 若只有65分钟可用，又应走哪一条路？ 其中， 那么称服从参数为的分布，记作。 这里函数被定义为 特别，如果，那么正是前面介绍过的参数为的指数分布； 如果, 并且对某个正整数使得， 那么我们称服从参数为的分布，记作。 注意到Beta函数和Gamma函数间的关系： 上述确实是密度函数。 如果随机变量在上取值，具有概率密度函数 那么称服从Cauchy 分布。 如果随机变量在上取值，具有概率密度函数 其中， 那么称服从参数为的Beta分布，记作。 特别，如果，那么服从上的均匀分布。 其中， 那么称服从参数为的Weibull分布。 如果随机变量在上取值，具有概率密度函数 令 考虑下列随机试验： 投掷一枚硬币，出现正面的可能性为；如果出现正面，那么继续投掷一次标枪，标