浙江大学概率论与数理统计第一章习题.ppt

第一章习题 3. 4. 5. 7. 8. 10. 11. 13. 14. 19(1) 16. 17. 21. 23. 26. 27. 28. 31. 34. * 设A,B是两事件且P(A)=0.6,P(B)=0.7.问(1)在什么条件下P(AB)取到最大值,最大值是多少?(2)在什么条件下P(AB)取到最小值,最小值是多少? 解 由广义加法定理 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) 得 P(AB)=P(A)+P(B)-P(A∪B) 按概率性质 0 ? P(A∪B) ? 1 (1)要使P(AB)最大,由于P(A),P(B)给定,就只有考虑P(A∪B)的取值. ①最好A?B=?,则P(A ?B)=0, 但题给P(A)=0.6,故A?? P(C)=0 C=? C?? P(C)?0 同理B??,从而A?B??. ②若B?A,则P(B)?P(A),与题意不符. ③若A?B,则P(A)?P(B),与题意相符. 此时 A∪B=B, 从而 P(A∪B)=P(B), 因此 P(AB)=P(A)=0.6. 所以结论是,当A?B时, P(AB)取到最大值0.6. (2)要使P(AB)最小,由于P(A),P(B)给定, 只需P(A∪B)取最大值即可. 因P(A∪B)最大值为1,此时A∪B=S为必然事件, P(AB)=0.6+0.7-1=0.3, 所以结论是,当A?B=S时, P(AB)取到最小值0.3. 设A,B,C是三事件,且 P(A)=P(B)=P(C)=1/4, P(AB)=P(BC)=0 , P(AC)=1/8 ,求A,B,C至少有一个发生的概率. 解 =P(A)+ P(B)+ P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) 广义加法定理 所求概率为 P(A∪B∪C) P(AB)=P(BC)=0 AB=BC=? 由于ABC?AB,或ABC?BC P(ABC)?P(AB) =0 非负性 0? P(ABC)=0 P(A∪B∪C)=3?(1/4)-(1/8)=5/8 若 P(A∪B∪C)=P(B∪(A∪C)) =P(B)+ P(A∪C)-P(B(A∪C)) P(A∪C)=P(A)+P(C)-P(AC) P(B(A∪C))= P(BA∪BC) =P(BA)+P(BC)-P((BA)(BC)) =P(AB)+P(BC)-P(ABC) 仍有P(A∪B∪C) =P(A)+ P(B)+ P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) 在一标准英语字典中有55个由两个不相同的字母所组成的单词.若从26个英文字母中任取两个字母予以排列,求能排成上述单词的概率. 解 基本事件是从26个英文字母中任取两个不相同的字母排成单词, 这实际上是排列问题,故基本事件总数 所求的55个由两个不相同的字母组成单词的事件A包含基本事件数 nA= 55 . 故所求概率 某油漆公司发出17桶油漆,其中白漆10桶,黑漆4桶,红漆3桶,在搬运中所有标签脱落,交货人随意将这些油漆发给顾客.问一个定货为4桶白漆, 3桶黑漆和2桶红漆的顾客,能按所定颜色如数得到定货的概率是多少? 解 基本事件是从17桶油漆中任取9桶, 这实际上是组合问题, 取出的9桶油漆中有4桶白漆, 3桶黑漆和2桶红漆的事件A分三步完成: 先从10桶白漆中取出4桶,有 种取法, 再从4 桶黑漆中取出3桶,有 种取法, 最后从3桶红漆中取出2桶,有 种取法, 故 故所求概率 (2)恰有k个次品的概率 至少有2个次品,则可能是2个,3个,…,200个次品,按加法定理 至少有2个次品的概率 简单的方法是利用其逆事件,少于2个次品,即恰有1个次品或没有次品,从而 在1500个产品中有400个次品,1100个正品.任取200个. (1)求恰有90个次品的概率;(2)求至少有2个次品的概率. 解 基本事件是从1500个产品中取200个, 基本事件总数n= (1)从400个次品中取90个, 1100个正品中取110个的事件总数 故恰有90个次品的概率 在11张卡片上分别写上probability这11个字母,从中任意连抽7 张,求其排列结果为ability的概率. 解 法一: 基本事件是从11张卡片中任意连抽7张进行排列 故基本事件总数为排列数 从11张卡片中抽出字母 的方式有 a 1 b 2 i 2 l 1 i 1 t 1 y 1 ? ? ? ? ? ?