概率论与数理统计第五讲 (2)1.ppt

第七讲 随机变量的分布函数 * * 概率论与数理统计 连续型随机变量及其概率密度 随机变量的分布函数 1 o 2 o 1. 连续型r.v及其密度函数的定义 一、连续型随机变量及其概率密度 3 o 设X是随机变量，如果存在定义在整个实数轴上的函数f(x) ,满足条件 且对于任意两个实数a,b a可以为 b可以为 则称 X为连续型r.v,称 f(x)为 X 的概率密度函 数，简称概率密度. 故 X的密度f (x) 在 x 这一点的值，恰好是 X落在区间 上的概率与区间长度 之比的极限. 这里，如果把概率理解为质量， f (x)相当于线密度. 若 x 是 f (x) 的连续点，则： = f (x) 对 f(x)的进一步理解: 要注意的是，密度函数 f (x)在某点处a的值，并不反映X取值a的概率. 若不计高阶无穷小，有： 但是，这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大. 即在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度. = f(x) f (x) x o a 连续型r.v取任一指定值的概率为0. 即： a为任一指定值 因为： 注意: 由此得， 1） 对连续型 r.v X,有 2) 由P(X=a)=0 可推知 而 {X=a} 并非不可能事件 并非必然事件 称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件. 可见， 由P(A)=0, 不能推出 由P(B)=1, 不能推出 B=S 若 r.vX的概率密度为： 则称X服从区间( a, b)上的均匀分布，记作： X ～ U(a, b) 它的实际背景是： r.v X 取值在区间(a, b) 上，并且取值在(a, b)中任意小区间内的概率 与这个小区间的长度成正比. 1. 均匀分布 二、三种重要的连续型随机变量 例1 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等时刻 有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间 X 是7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量, 试求他候车 时间少于5 分钟的概率. 解： 依题意， X ～ U ( 0, 30 ) 以7:00为起点0，以分为单位 为使候车时间X少于 5 分钟，乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站. 所求概率为： 从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站， 即乘客候车时间少于5 分钟的概率是1/3. 则称 X 服从参数为 的指数分布. 指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命（无记忆性）. 若 r.v X具有概率密度 常简记为 X~E( ) . 2. 指数分布 若 r.v X的概率密度为 记作 f (x)所确定的曲线叫作正态曲线. 其中 和 都是常数， 任意， 0， 则称X服从参数为 和 的正态分布. 3.正态分布 标准正态分布 的正态分布称为标准正态分布. 其密度函数用 表示 为了对离散型的和非离散型的 r.v以及更广泛类型的r.v给出一种统一的描述方法，我们引进分布函数的概念. 三、随机变量的分布函数 1、定义： 设 X 是一个 r.v，x是任意实数，称 为 X 的分布函数. 记作 X ～ F(x) 或 FX(x). ———|—— x 由定义，对任意实数 x1x2，随机点落在 区间（ x1 , x2 ] 的概率为： P{ x1X x2 } = P{ X x2 } - P{ X x1 } = F(x2)-F(x1) 因此，只要知道了随机变量X的分布函数， 它的统计特性就可以得到全面的描述. X, x 皆为变量. 二者有什么区别？ 2、分布函数F(x)的性质： 1）F(x)是一个单调不减函数. 2） 3） 3、离散型 r.v的分布函数 设离散型r.v X 的分布律是 P{ X = x k } = p k , k =1,2,3,… 则 F(x) = P(X x) = 由于F(x) 是 X 取 的诸值 xk 的概率之和， 故又称 F(x) 为累积概率函数. 试说明F(x)能否是某个r.v 的分布函数. 例2 设有函数 F