正多面体与欧拉定理.ppt

* 定义：每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体 正多面体： 正多面体有且仅有五种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体 正多面体有且仅有五种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体 正多面体的展开图 著名的数学家，瑞士人，大部分时间在俄国和法国度过．他17岁获得硕士学位，早年在数学天才贝努里赏识下开始学习数学，毕业后研究数学，是数学史上最高产的作家．在世发表论文700多篇，去世后还留下100多篇待发表．其论著几乎涉及所有数学分支．他首先使用f(x)表示函数，首先用∑表示连加，首先用i表示虚数单位．在立体几何中多面体研究中，首先发现并证明欧拉公式． 欧拉 欧拉公式及其应用 讨论 问题1： （1）数出下列四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E 并填表 (1) （2） （3） 图形编号 顶点数V 面数F 棱数E （1） （2） （3） （4） 规律： V+F-E=2 4 6 4 8 6 12 6 8 12 20 12 30 (4) ( 6 ) 问题1： （2）数出下列多面体的顶点数V、面数F、棱数E 并填表 讨论 ( 5 ) 5 8 5 7 8 12 图形编号 顶点数V 面数F 棱数E （5） （6） 12 12 24 （7） ( 7 ) 多面体 简单多面体 表面经过连续变形能变成一个球面的多面体 V+F-E=2 简单多面体 欧拉公式 欧拉示性数 问题2：如何证明欧拉公式 A B C D E A1 B1 C1 D1 E1 A B C D E A1 B1 C1 D1 E1 讨论 压缩成 平面图形 问题2：如何证明欧拉公式 A B C D E A1 B1 C1 D1 E1 A B C D E A1 B1 C1 D1 E1 讨论 压缩成 平面图形 1、（1）一个简单多面体的各面都是三角形，则它的顶点数V和面数F的关系为__________。 欧拉公式的应用 (2)一个简单多面体的各个顶点都有三条棱，则顶点数V与面数F满足的关系为_________。 欧拉公式的应用 2、 简单多面体的每个面都是五边形，且每个顶点的一端都有三条棱，求这个多面体的面数和棱数． 4、一个凸多面体的棱数是30，面数为12，则它的各面多边形内角的总和为__________。 5、是否存在这样的多面体，它有奇数个面，且每一个面都有奇数条边 欧拉公式的应用 3、1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科家．C60是有60 个C原子组成的分子，它结构为简单多面体形状．这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出3条棱，各面的形状分别为五边形或六边形两种．计算C60分子中形状为五边形和六边形的面各有多少？ 小结 猜想 证明 应用 空间问题平面化 V+F-E=2 欧拉公式 （方法二）以四面体 为例来说明： 将它的一个面 去掉，并使其变为平面图形，四面体的顶点 数 、棱数 与剩下的面数 变形后都没有变。因此，要 研究 、 和 的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形 既可。 对平面图形，我们来研究： （1）去掉一条棱，就减少一个面 例如去掉 ， 就减少一个面 ，同理去掉棱 、 也就各减少一个面 、 因此， 、 的值都不变， 因此 的值也不变。 （2）再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶点 例如去掉 ，就减少一个顶点 ，同理，去掉 就减少 一个顶点 ，最后剩下 在此过程中 的值不变，但这时面数 是0。 所以 的值也不变。 最后只剩下 ，所以 最后加上去掉的一个面，就得到 *