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浅谈Banach不动点定理的推广及应用 【摘要】：本文介绍了Banach不动点定理的几种形式的推广，并讨论了其在微分方程中的应用。 【引言】：泛函分析作为一门20世纪初发展起来的学科，以其高度的统一性和广泛的应用性得到了众多学者的亲睐。而不动点定理正是目前正在迅速发展的非线性泛函分析的重要组成部分。泛函分析，特别是非线性泛函分析，在数值计算，非线性问题的求解，微分方程等问题的理论方面贡献了重要的力量，为计算数学提供了有力的工具，并为数学界带来了深远的改革。不动点定理的研究，从20世纪20年代开始，由波兰数学家巴拿赫于1992年提出的压缩映射原理发展了迭代思想，并给出了Banach不动点定理，该定理有着非常广泛的应用，如线性微分方程，积分方程，代数方程等解的存在唯一性方面的问题均可归结为此定理的推论问题，本文介绍了Banach不动点定理的几种推广形式，并讨论其在几个方面的应用。[1,2] 关键词：完备 不动点 压缩映射 不动点定理 1 Banach不动点定理及其推广 定义1.1[1] 设X是一个非空的集合，X叫做距离空间，是指在X上定义了一个双变量的实值函数,满足下面三个条件： (1)，而且，当且仅当 (2) (3) 这里叫做X上的一个距离；以为距离的距离空间X记做(X,) 定义1.2[1] 距离空间(X,)上的点列叫做基本列，如果 。如果空间中所有的基本列都是收敛的，且收敛到x中的一点，那么称该空间是完备的。 定义1.3[2] (不动点)设X为一集合，为一映射，如果，使得，则称为映射T的一个不动点。 定义1.4 [2](压缩映射)设X是度量空间，T是X到X中的映射，如果存在一个数a,使得0a1，使得对所有的，成立,则称T是压缩映射。 定理1.1[1,3] Banach不动点定理(压缩映射原理)设X是完备的度量空间，T是X上的压缩映射，那么T有其只有一个不动点。 定理1.2[4](布劳威尔(Brouwer)不动点定理)设为中的有界闭凸集，映像F：连续，额则F在中必有不动点。 这个定理的证明方法很多，其定理的表达形式也有若干，基于拓扑度(或向量场旋度)的证明方法是由Brouwer(1910),Alexander(1922)以及以后的许多作者给出的[4]。Birkhoff与Kellogg(1922)及其后的Dunford与Schwartz(1956)用古典的方法(微积分与行列式)做出了本定理的证明，最直接的证明方式是用代数拓扑的方法，即n维单纯行的单纯分割，这一证明由Knaster、Kuratowski和Mazurkiewicz(1929)给出。 下面给出Brouwer不动点定理的拓扑度理论的证明。 证明：不妨设，不然，可任取，用，F(x+y)-y代替与F(x)即可；也不妨认为含有内点，否则，用代替即可；总之，可以认为0是的一个内点，若F在上有不动点，则定理已经被证明，现假定F在上没有不动点，考虑同伦 ， 显然是x与t的连续函数，且。由度的同伦性与标准性，有 再由Kronerker存在定理，知方程x-F(x)=0必存在解，即有。证毕 再将定理1.2推广到无穷维空间，便得到下面要叙述的定理1.3。 定理1.3 [5](肖德尔(schauder)不动点定理)设G为Banach空间集合上的连续映像， 为紧凸集，，则G在有不动点。 将定理1.1和定理1.3结合起来就得到 定理1.4[4,5](拉克斯诺谢尔斯基(Kransnoselskii)定理)设K为Banach空间X的一个有界闭凸集，而T与G是映射K到X的两个映像，满足条件： (1)，有 (2)T在K上为压缩映像(压缩系数为) (3)G在K上是紧连续(或全连续)映像，则组合映像T+G在K上有不动点。 这个定理对于处理带有扰动的算子方程是非常有用的，例如，可将G视为扰动算子，研究方程T(x)=x-G(x)的解。 2 不动点定理的应用问题 2.1 Banach不动点定理在微分方程中的应用 考虑如下微分方程： (2.1.1) 其中x是中的向量，是实变量t和n维向量x的向量值函数。 在证明微分方程初值问题解得存在唯一性的时候，大部分的文献采用逐步逼近的近似解的序列加以证明，用逐次迭代构造Picard序列：，其中，用归纳法证明了Picard序列在上是连续的，又因为极限函数在区间I上是连续的，然后利用f(t,x)的连续性和Picard序列的一致收敛性得到了在上是积分方程的解，这种方法虽然优点很多，但步骤繁杂，下面采用压缩映射原理给出对于此问题的简洁证明。 定理2.1[1,2](存在唯一性定理) 对于式(2.2.1)所示的初值问题如果f(t,x)在开区域中满足下列条件： (1)f在G内连续，简记为