[微分流形与微分形式].pdf

第七章 微分流形 这一章我们将讨论怎样将微积分的理论推广到更一般的空间上, 我们将给出微分流形的定义，讨论外代数, 微分形式和外微分, 并在微 分流形上定义积分，研究推广的 Stokes 定理. 我们的目的一方面是对 微积分的理论进行一些总结, 使读者能够更好的理解前面学过的定理 及定理所需的条件, 另一方面也为读者介绍一些现代数学的基本概念, 研究对象和研究方法. 需要说明的是下面讨论中我们并不追求定义和 定理的广泛性, 但我们希望用到的概念和定理在本书中都能找到. §7.1 微分流形 前面我们讨论了极限, 微分和积分, 给出了微积分的各种定理. 我们的讨论对象都是 n-维欧氏空间中的区域及区域上的函数. 而如果 将平面看作曲面的特殊情况, n-维欧氏空间看作 n-维曲面的特殊情况, 假定我们就置身于曲面之中, 我们的问题是怎样将前面讨论过的微积 分的各种理论推广到曲面上. 对此我们先从极限理论的推广开始. 在实数的极限理论中, 序列 {xn }趋于 x0 可以表示为对于包含x0 的任意开集U , 存在 N , 使得只要n N , 就有xn ∈U . 在这一定义 中, 我们将开集看作是其所包含的所有点的邻域, 利用开集来描述接 近(取极限) 的过程. 同样的, 设 n f (p ) 是区域U ⊂ R 上的函数, 不难 验证 f (p ) 在 U 上连续的充分必要条件是对于实轴 R 中的任意开集 O , f −1(O) 是U 中的开集. 我们看到, 对于连续, 我们同样只需知道 什么集合是开集即可. 因此, 如果我们希望对于一般的集合以及集合 之间的映射推广极限和连续的概念, 我们只需推广开集的概念即可. 对此, 我们可以将欧氏空间中开集满足的基本性质作为公理, 给出下 面定义. 定义 集合X 称为拓扑空间, 如果指定了X 的某些子集作为X 中的开集, 并且这些开集满足 137 1). X 本身和空集φ都是开集; 2). X 中任意有限个多个开集的交是开集; 3). X 中任意多个开集的并仍然是开集. 我们将拓扑空间X 的所有开集组成的集合记为T . 即 T {O =⊂ X | O是开集}. T 称为 X 的一个拓扑结构, 这时可以将拓扑空间X 记为 {X ,T }. 显 然一个集合上可以有各种不同的拓扑结构. 对于一个拓扑空间 X , 我们将 X 中开集的余集称为闭集. 由开 集满足的性质不难得到闭集满足 1). X 和空集φ都是闭集; 2). 任意 有限个多个闭集的并是闭集; 3). 任意多个闭集的交是闭集. 如果S ⊂X 是拓扑空间X 的任意子集, 令 T (S) {O ∩S | O是X的开集} . 则 {S ,T (S )}也是一拓扑空间, 其称为 X 的子空间. 特别的欧氏空间 中任意子集U ⊂ Rn , U 作为子空间,