1第一章-场论与张量基本知识.pdf

渗流力学—第一章. 场论与张量基本知识 刘青泉 北京理工大学宇航学院力学系 liuqq@bit.edu.cn 1 第一章 场论与张量基本知识 1.1 标量、矢量、场 1.2 标量场的梯度 1.3 矢量场的散度和旋度 1.4 张量表示法 1.5 坐标变化与张量定义 1.6 N-S方程的张量表示 2 1.1 标量、矢量、场  标量 在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明的物理量， 即只有大小，无方向的物理量。 如：浓度、温度、电势等  矢量 在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向的物理量， 既有大小，又有方向的物理量。 如：速度、力、加速度等 1.1 标量、矢量、场  场概念 设在空间某个区域内定义标量或矢量函数，则称定义了相应 函数的空间区域为场。场是用空间位置函数来表征的。 标量场：如物理量是标量，且空间每一点对应着该物理量的一 个确定数值，则此空间为标量场. 如: 浓度场、温度场、电势场等 矢量场：如物理量是矢量，且空间每一点都存在着它的大小和 方向，则称此空间为矢量场. 如: 速度场、力场、电磁场等 1.1 标量、矢量、场  均匀场、定常场 在场内定义的函数可以随时间变化，此时时间作为参数出现。 设r 是空间点的矢径，x, y, z是 r 的直角坐标，t 是时间，则标量场 和矢量场内的函数 φ或 a 可分析地表示为：  (r, t) ( x, y, z, t) a a(r, t) a( x, y, z, t) 如果同一时刻场内各点函数值都相等，则 为均匀场 ；反之，称为不均匀场 ： (t), a(t) 如果场内函数值不依赖于时间，即不随时间 改变，则为定常场 ；反之，称为不定常场 ： (r), a(r) 1.1 标量、矢量、场  场的几何表示 标量场可用函数等值面（线）来表示。 可直观看出函数值的大小分布，以及变 化快慢 矢量场可用矢量线来表示。 任一点的矢量方向可由矢量线的切线方 向定出；也可以从矢量线的疏密程度估 计矢量在各点的大小。 1.2 标量场的梯度  方向导数（Directional Gradient） 1.2 标量场的梯度  梯度（Gradient）    grad i  j  k x y z 梯度描述了场任一点函数的变化状况，是标量场不均匀性的量度； 梯度的方向与等位面的法线重合； 梯度矢量在任一方向上的投影等于该方向的方向导数； 梯度的方向，即等位面的法线方向是函数变化最快的方向。 1.3 矢量场的散度和旋度 (1) 通量（Fluid) ） 1.3 矢量场的散度和旋度 (2) 散度（Divergence) 1.3 矢量场的散度和旋度 散度在直角坐标系中的表达： A A A divA x  y  z