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1第一章-场论与张量基本知识.pdf

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1第一章-场论与张量基本知识

渗流力学—第一章. 场论与张量基本知识 刘青泉 北京理工大学宇航学院力学系 liuqq@bit.edu.cn 1 第一章 场论与张量基本知识 1.1 标量、矢量、场 1.2 标量场的梯度 1.3 矢量场的散度和旋度 1.4 张量表示法 1.5 坐标变化与张量定义 1.6 N-S方程的张量表示 2 1.1 标量、矢量、场  标量 在一定单位制下,只需指明其大小即足以被说明的物理量, 即只有大小,无方向的物理量。 如:浓度、温度、电势等  矢量 在一定单位制下,除指明其大小还应指出其方向的物理量, 既有大小,又有方向的物理量。 如:速度、力、加速度等 1.1 标量、矢量、场  场概念 设在空间某个区域内定义标量或矢量函数,则称定义了相应 函数的空间区域为场。场是用空间位置函数来表征的。 标量场:如物理量是标量,且空间每一点对应着该物理量的一 个确定数值,则此空间为标量场. 如: 浓度场、温度场、电势场等 矢量场:如物理量是矢量,且空间每一点都存在着它的大小和 方向,则称此空间为矢量场. 如: 速度场、力场、电磁场等 1.1 标量、矢量、场  均匀场、定常场 在场内定义的函数可以随时间变化,此时时间作为参数出现。 设r 是空间点的矢径,x, y, z是 r 的直角坐标,t 是时间,则标量场 和矢量场内的函数 φ或 a 可分析地表示为:  (r, t) ( x, y, z, t) a a(r, t) a( x, y, z, t) 如果同一时刻场内各点函数值都相等,则 为均匀场 ;反之,称为不均匀场 : (t), a(t) 如果场内函数值不依赖于时间,即不随时间 改变,则为定常场 ;反之,称为不定常场 : (r), a(r) 1.1 标量、矢量、场  场的几何表示 标量场可用函数等值面(线)来表示。 可直观看出函数值的大小分布,以及变 化快慢 矢量场可用矢量线来表示。 任一点的矢量方向可由矢量线的切线方 向定出;也可以从矢量线的疏密程度估 计矢量在各点的大小。 1.2 标量场的梯度  方向导数(Directional Gradient) 1.2 标量场的梯度  梯度(Gradient)    grad i  j  k x y z 梯度描述了场任一点函数的变化状况,是标量场不均匀性的量度; 梯度的方向与等位面的法线重合; 梯度矢量在任一方向上的投影等于该方向的方向导数; 梯度的方向,即等位面的法线方向是函数变化最快的方向。 1.3 矢量场的散度和旋度 (1) 通量(Fluid) ) 1.3 矢量场的散度和旋度 (2) 散度(Divergence) 1.3 矢量场的散度和旋度 散度在直角坐标系中的表达: A A A divA x  y  z

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