理论力学牛顿动力学方程.ppt

第一章 牛顿动力学方程 §1.1 经典力学基础——《原理》 牛顿三大定律 §1.2 牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式 牛顿第二定律矢量表达式 F = dP/dt = d(mv)/dt 若m 为常数， F = mdv /dt = ma 1、直角坐标系 Fx = mdvx /dt = max Fy = mdvy /dt = may Fz = mdvz /dt = maz §1.2 牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式 2、平面极坐标系 (r,φ) 与直角坐标系关系: (1) (x , y) → (r ,φ) §1.2 牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式 2、平面极坐标系 (r,φ) (2) ( vx , vy ) → ( vr , vφ) 作 业 已知球坐标系与直角坐标系关系: x = r sin? cos? y = r sin? sin? z = r cos ? 推导球坐标系（r，?，φ）中的 （1）速度分量（ v r ，v?，vφ ）； （2）加速度分量（ a r ，a?，aφ ） 。 例：细杆 OL 绕 O 点以匀角速ω转动，并推动小环 C 在固定的钢丝 AB 上滑动，d 为常数。试求小环的速度及加速度的量值。 例：小船M 被水流冲走后，用一绳将它拉回岸A边点。假定水速 C1 沿河宽不变，而拉绳子的速度则为 C2 。如小船可以看成一个质点，求小船的轨迹。 §1.2 动量定律 一、质心 RC = ∑mi ri /∑mi = ∑mi ri /M 质心定理： MdvC /dt2 Md2RC /dt2 = F 二、质点组运动的分解：平动 + 转动 地面参照系 质心参照系 ri = RC + ri’ §1.4 动量定律 §1.5 克尼希定理 理论力学 何国兴 东华大学应用物理系 例题：假设“和平”号宇宙空间站在接近地面摧毁时，有一质量为 m 的碎片以水平方向的初速 vo 抛出，已知空气阻力与速度成正比，即 f = - kv （ k 为常数），试求碎片的运动方程和轨迹方程。 解：牛顿第二定律：mg + f = mg - kv = mdv/dt 建立坐标系：x 轴 —— vo 方向; y 轴 —— 垂直向下方向。 初始条件： t = 0， xo = 0 ， yo = 0 ， zo = 0； vxo = vo ， vyo = 0 ， vzo = 0; 运动微分方程： - kvx = mdvx /dt mg - kvy = mdvy /dt 0 = mdvz /dt 运动微分方程： - kvx = mdvx /dt mg - kvy = mdvy /dt 0 = mdvz /dt x方向： dvx / vx = - (k/ m) dt → vx = vo e - kt/m y方向： - kdvy/(mg-kvy) = -(k/ m)dt → vy = (mg/k)(1- e - kt/m ) z方向： dvz = 0 → vz = vzo = 0 vx = vo e - kt/m vy = (mg /k)( 1- e - kt/m ) vz = 0 vx = vo e - kt/m ，vy = (mg /k)( 1- e - kt/m ) ，vz = 0 → x - xo = ∫ot vo e - kt/m dt = (mvo /g)( 1- e - kt/m ) → y - yo = ∫ot (mg /k)( 1- e - kt/m ) dt = mg t /k - m2g /k2 (1- e - kt/m )