离散数学群与环.pptVIP

第十章 群与环 主要内容: 群的定义与性质 子群与群的陪集分解 循环群与置换群 环与域 10.1 群的定义与性质 半群、独异点与群的定义 半群、独异点、群的实例 群中的术语 群的基本性质 半群、独异点与群的定义 定义10.1 (1) 设V=S, ° 是代数系统，°为二元运算，如果 °运算是可结合的，则称V为半群. (2) 设V=S,°是半群，若e∈S是关于°运算的单位 元，则称V是含幺半群，也叫做独异点. 有时也将独 异点V 记作V=S,°,e. (3) 设V=S,°是独异点，e?S关于°运算的单位元， 若?a?S，a?1?S，则称V是群. 通常将群记作G. 例1 (1) Z+,+,N,+,Z,+,Q,+,R,+都是半群，+是普通加法. 这些半群中除Z+,+外都是独异点. (2) 设n是大于1的正整数，Mn(R),+和Mn(R),·都是半群，也都是独异点，其中+和·分别表示矩阵加法和矩阵乘法. (3) P(B),?为半群，也是独异点，其中?为集合对称差运算. (4) Zn, ?为半群，也是独异点，其中Zn={0,1,…,n?1}，?为模n加法. (5) AA,?为半群，也是独异点，其中?为函数的复合运算. (6) R*,?为半群，其中R*为非零实数集合，?运算定义如下：?x, y?R*, x?y=y. 有关群的术语 定义10.2 (1) 若群G是有穷集，则称G是有限群，否 则称为无限群. 群G 的基数称为群 G 的阶，有限群G的阶记作|G|. (2) 只含单位元的群称为平凡群.? (3) 若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交换 群或阿贝尔 (Abel) 群. 有关群的术语 元素的阶 定义10.4 设G是群，a∈G，使得等式 ak=e 成立的最 小正整数k 称为a 的阶，记作|a|=k，称 a 为 k 阶元. 若不存在这样的正整数 k，则称 a 为无限阶元. 群的性质：幂运算规则 定理10.1 设G 为群，则G中的幂运算满足： (1) ?a∈G，(a?1)?1=a (2) ?a,b∈G，(ab)?1=b?1a?1 (3) ?a∈G，anam = an+m，n, m∈Z (4) ?a∈G，(an)m = anm，n, m∈Z (5) 若G为交换群，则 (ab)n = anbn. 群的性质：方程存在惟一解 定理10.2G为群，?a,b∈G，方程ax=b和ya=b在G 中有解且仅有惟一解. 群的性质：方程存在惟一解 群的性质：消去律 定理10.3 G为群，则G中适合消去律，即对任意 a,b,c∈G 有 (1) 若 ab = ac，则 b = c. (2) 若 ba = ca，则 b = c. 群的性质：元素的阶 证 (1) 充分性. 由于r|k，必存在整数m使得k = mr，所以有ak = amr = (ar)m = em = e. 必要性. 根据除法，存在整数 m 和 i 使得  k = mr+i, 0≤i≤r?1 从而有 e = ak = amr+i = (ar)mai = eai = ai 因为|a| = r，必有i = 0. 这就证明了r | k. 群的性质：元素的阶 证 (2) 由 (a?1)r = (ar)?1 = e?1 = e 可知 a?1 的阶存在. 令|a?1| = t，根据上面的证明有t | r. a又是a?1的逆元，所以 r | t. 从而证明了r = t，即 |a?1| = |a| . 实例 例 5 设G是群，a,b∈G是有限阶元. 证明 (1) |b?1ab| = |a| (2) |ab| = |ba| 实例 (2) 设 |ab| = r，|ba| = t，则有  由消去律得 (ab)t = e，从而可知，r | t. 同理可证 t | r. 因此 |ab| = |ba|. 10.2 子群与群的陪集分解 定义10.5 设G是群，H是G的非空子集， (1) 如果H关于G中的运算构成群，则称H是G的子群, 记作H≤G. (2) 若H是G的子群，且H?G，则称H是G的真子群，记作HG. 子群判定定理1 定理10.5（判定定理一） 设G为群，H是G的非空子集，则H是G的子群当且 仅当 (1) ?a,b∈H有ab∈H (2) ?a∈H有a?1∈H. 子群判定定理2 定理10.6 （判定定理二） 设G为群，H是G的非空子集. H是G的子群当且仅当 ?a,b∈H有ab?1∈H.? 子群判定定理3 定理10.7 （判定定理三） 设G为群，H是G的非空有穷子集，则H是G的子群当 且仅当?a,