离散数学群环域格 (2).ppt

* 第十章 群与环 主要内容 群的定义与性质 子群与群的陪集分解 循环群与置换群 环与域 格 * 半群、独异点与群的定义 定义10.1 (1) 设V=S, ° 是代数系统，°为二元运算，如果°运算是可 结合的，则称V为半群. (2) 设V=S,°是半群，若e∈S是关于°运算的单位元，则称V 是含幺半群，也叫做独异点. 有时也将独异点V 记作 V=S,°,e. (3) 设V=S,°是独异点，e?S关于°运算的单位元，若 ?a?S，a?1?S，则称V是群. 通常将群记作G. * 实例 例1 (1) Z+,+,N,+,Z,+,Q,+,R,+都是半群，+是普通加 法. 这些半群中除Z+,+外都是独异点 (2) 设n是大于1的正整数，Mn(R),+和Mn(R),·都是半 群，也都是独异点，其中+和·分别表示矩阵加法和矩阵 乘法 (3) P(B),?为半群，也是独异点，其中?为集合对称差运算 (4) Zn, ?为半群，也是独异点，其中Zn={0,1,…,n?1}，? 为模n加法 (5) AA,?为半群，也是独异点，其中?为函数的复合运算 (6) R*,?为半群，其中R*为非零实数集合，?运算定义如 下：?x, y?R*, x?y=y * 例2 设G={ e, a, b, c }，G上的运算由下表给出，称为Klein 四元群  ? ? e a b c e a b c e a b c a e c b b c e a c b a e 实例 特征： 1. 满足交换律 2. 每个元素都是自己的逆元 3. a, b, c中任何两个元素运算结 果都等于剩下的第三个元素 * 有关群的术语 定义10.2 (1) 若群G是有穷集，则称G是有限群，否则称为无 限群. 群G 的基数称为群 G 的阶，有限群G的阶记作|G|. (2) 只含单位元的群称为平凡群.? (3) 若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交换群或阿贝 尔 (Abel) 群. 实例： Z,+和R,+是无限群，Zn,?是有限群，也是 n 阶群. Klein四元群是4阶群. {0},+是平凡群. 上述群都是交换群，n阶(n≥2)实可逆矩阵集合关于矩阵乘法 构成的群是非交换群. * 10.2 子群与群的陪集分解 定义10.5 设G是群，H是G的非空子集， (1) 如果H关于G中的运算构成群，则称H是G的子群, 记作H≤G. (2) 若H是G的子群，且H?G，则称H是G的真子群，记作HG. 例如 nZ (n是自然数) 是整数加群Z,+ 的子群. 当n≠1时, nZ是Z的真子群. 对任何群G都存在子群. G和{e}都是G的子群，称为G的平凡 子群.? * 10.4 环与域 定义10.12 设R,+,·是代数系统，+和·是二元运算. 如果满足 以下条件: (1) R,+构成交换群 (2) R,·构成半群 (3) · 运算关于+运算适合分配律 则称R,+,·是一个环. 通常称+运算为环中的加法，·运算为环中的乘法. 环中加法单位元记作 0，乘法单位元（如果存在）记作1. 对任何元素 x，称 x 的加法逆元为负元，记作?x. 若 x 存在乘法逆元的话，则称之为逆元，记作x?1. * 环的实例 例15 (1) 整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通的加法和 乘法构成环，分别称为整数环Z，有理数环Q，实数环R 和复数环C. (2) n(n≥2)阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵的加法和乘法构 成环，称为 n 阶实矩阵环. (3) 集合的幂集P(B)关于集合的对称差运算和交运算构成环. (4) 设Zn＝{0,1, ... , n－1}，?和?分别表示模n的加法和乘 法，则Zn,?,?构成环，称为模 n的整数环. * 特殊的环 定义10.13 设R,+,·是环 (1) 若环中乘法 · 适合交换律，则称R是交换环 (2) 若环中乘法 · 存在单位元，则称R是含幺环 (3) 若?a,b∈R，ab=0 ? a=0∨b=0，则称R是无零因子环 (4) 若R既是交换环、含幺环、无零因子环，则称R是整环 (5) 设R是整环，且R中至少含有两个元素. 若?a∈R*，其中 R*=R?{0}，都有a－1∈R，则称R是域. * 例17 (1) 整数环Z、有理数环Q、实数环R、复数环C都是交换 环,含幺环,无零因子环和整环. 除了整数环以外都是域. (2) 令2Z