离散数学谓词逻辑.ppt

第二章 谓词逻辑 数理逻辑 在命题逻辑中，命题演算的基本单位是命题，不再对原子命题进行分解，故无法研究命题语句的结构、成份和内在的逻辑特征。 如果任何两个原子命题具有一些共同特征，那么欲表达这些共同特征，显然是不可能的事。这就使得在命题逻辑中，甚至无法处理一些简单而又常见的推理过程。 在命题的研究中，基于谓词分析的逻辑，称为谓词逻辑。 谓词逻辑是命题逻辑的扩充和发展。 本章重点 1.谓词公式 2.自然语言表述和谓词公式表示间的相互转化 3.基于谓词公式的推理 例子：我班有人能考上研究生。我班所有人都能考上研究生。 经典例子 苏格拉底三段论: 1)所有人都要死； 2)苏格拉底是人； 3)所以苏格拉底是要死的。 引入谓词 引入原因： 1)克服原子命题的不可再分在性，将主语和谓语分开； 2)原子命题不能描述数量关系。 一、基本三要素 个体与个体域：克服原子命题底不可再分性，可分为主语和谓语；个体：不依赖于人们的主观而独立存在的客观实体;是独立存在的客体，可以是具体事物也可以是抽象概念。个体域（D）：个体取值的范围。 全总个体域。 谓词：用于刻画个体的性质或者个体间的关系；－－谓词部分 量词(?、?) 量词的辖域（作用域） 例如 “猫是动物”一句中的“是动物”就是一个谓词，而“猫”是客体。 “3 大于 2”中“大于”是一个谓词。3和2是客体。 谓词 只涉及一个客体的谓词称为一元谓词，涉及两个客体的谓词称为二元谓词，涉及n个客体的谓词称为n元谓词。 一般，如A表示谓词符号，用Xi表示第i个客体变项，则n元谓词表示为A(x1,…,xn)。 谓词常项和谓词变项 谓词常项：表示某个确定判定的谓词称为谓词常项。如上述两个谓词是动物、大于。 谓词变项：尚未确定的谓词称为谓词变项。例如用 P（3，2）记一个谓词变项，可以表示 “3 大于 2”、“3 小于 2”等等。 n 元谓词： 在一个命题中，若有 n 个客体名称与谓词相联系，则称该谓词为 n 元谓词。如上述“是动物”为一元谓词，因为只有“猫”这一个客体与之相联系。而命题“3 大于 2”中的谓词“大于”与两个客体联结，是一个二元谓词。 谓词与命题的关系 一般来说，谓词不是命题，它的真值无法确定； 为了使得它成为命题，必须： 指定某一谓词常项代替P； 指定n个个体常项a1,a2,…..,an分别代替n个个体变项x1,x2,…..,xn。 例如：L（x，y）是一个2元谓词，它不是命题；当令L（x，y）表示“x大于y”后，该谓词中的谓词部分便成了常项，但是它不是命题；当取a为2，b为3时，L（a，b）才是命题，并且是假命题。 c为2，d为0时，L（c，d）是真命题。 有时将不带个体变项的谓词称为0元谓词。 0元谓词中的谓词的意义确定后， 0元谓词是命题。 使用谓词注意： （1） n元谓词中，客体变项的次序很重要 。 例：F（x,y）表示x是y的父亲， a:张三，b:张小明。 F（a,b）表示张三是张小明的父亲。 F（b,a）表示张小明是张三的父亲。 （2） 在讨论一个问题是必须先确定好个体域D。 如不作限制，表示宇宙一切事物组成的个体，成为全总个体域。 （3） 同一个n元谓词，取不同的个体，真假会不同。 A（x）：x是大学生。 A（a） 真值可能为真，而A（b）真值可能为假。 （4） 对于同一谓词，个体域D不同，真值可能也不同。 例：对于A（x），x是大学生。 如D={大学生全体}，A（x）是重言式。 如D={学生全体}，A（x）是仅可满足式。 如D={老鼠全体}，A（x）是永假式。 量词?? ?：有一个，存在，一些，some ?：所有的，全体，任意的，every，all 量词的使用：一个量词后面紧跟着一个个体变元，不单独使用。 ?xP(x)，?yQ(y)，?x?y P(x,y)等。 ?xA(x)，?xA(x) 例如：D=全班同学的集合。A(x):今天x迟到了。 ?xA(x) 表示今天x迟到了。x∈D，从而x指同学。 ?xA(x)表示今天有同学迟到了。 ?xA(x)就表示为今天所有的同学都迟到了。 二、将命题用0元谓词符号化 例如：2是素偶数。 如果2大于3，则2大于4。 带量词命题的符号化 例如：所有人都是要死的。 有些人长寿。 例如：1.所有人都是要死的。 2.有些人长寿。 设F