数值计算06-数值积分与数值微分.ppt

2、截断误差 Newton-Cotes公式的误差为: 与x有关 三、几种常用的低阶求积公式 梯形公式： Simpson公式： Simpson3/8公式： Cotes公式 例3 例4、用n=2和n=3的Newton-Cotes公式 解： 求 的近似值。 1.n=2时 2.n=3时 （ 的真实值为0.7668010） * §6.3 求积分的MATLAB命令 * 格式： S=trapz(x,y) 例1：用梯形法求 区间内，函数 的定积分值 x1=[0:pi/30:pi]; y=[sin(x1) cos(x1) sin(x1/2)]; S1=trapz(x1,y) S1 = 1.9982 0.0000 1.9995 trapz( ) 函数 例2：求解 描述被积函数： 第一种，一般函数方法 function y=c3ffun(x) y=2/sqrt(pi)*exp(-x.^2); 第二种：inline 函数 f=inline(‘2/sqrt(pi)*exp(-x.^2)’, ‘x’); 函数定义被积函数： y=quad(c3ffun,0,1.5) y = 0.9661 用 inline 函数定义被积函数： f=inline(2/sqrt(pi)*exp(-x.^2),x); y=quad(f,0,1.5) y = 0.9661 矩形区域上的二重积分的数值计算 格式： 矩形区域的双重积分： y=dblquad(Fun,xm,xM,ym,yM) 限定精度的双重积分： y=dblquad(Fun,xm,xM,ym,yM, ) 例：求解 f=inline(exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y),x,y); y=dblquad(f,-2,2,-1,1) y = 1.57449318974494 §6.4 数值微分 数值微分是用离散方法近似地计算函数在某点的 导数值。 在实验和工程应用中，常常得到的离散形式 的数据， 这时，数值微分显得尤为重要。 若 在 x=a 可导， 根据导数的定义，可以用差 商近似代替微商（导数），有 (1) (2) （h0且足够小）分别称为向前差商和向后差商。 两式平均得 (3) 称为中心差商。 中心差商精度较高。 和差商一样，称 分别为向前差分、向后差分、中心差分。 高阶导数也可用差商法求得， 例如二阶导数公式为 (4) 2 数值微分的MATLAB命令 diff(x) 向量x的向前差分；% diff(x)/h 即为计 算数值导数 diff(x, n) 向量x的n阶向前差分； 例1： ，求函数 的数值导数，并画出 的图像。 解：f=inline(sqrt(x.^3+2*x.^2-x+12)+(x+5).^(1/6)+5*x+2); x=-3:0.01:3; df=diff(f([x,3.01]))/0.01; plot(x,df) 除差商公式外，还有三点公式等其它方法计算 数值导数，具体可参考相关教材。 例题：教堂顶部曲面面积 某个阿拉伯国家有一座著名的伊斯兰教堂，它以 中央大厅的金色巨大拱形圆顶名震遐迩。因年久失修， 国王下令将教堂顶部重新贴金箔装饰。 据档案记载，大厅的顶部形状为半球面，其半径 为30m。考虑到可能的损耗和其他技术因素，实际用 量将会比教堂顶部面积多1.55%。 据此，国王的财政 大臣拨出了可制造5800m2有规定厚度金箔的黄金。 建筑商人哈桑略通数学，他计算了一下，觉得黄金会 有盈余。于是，他以较低的承包价得到了这项装饰工 程。但在施工前的测量中，工程师发现教堂顶部实际 上并非是一个精确的半球面而是半椭球面，其半立轴 恰是30m，而半长轴和半短轴分别是30.6m和29.6m。 这一来哈桑犯了愁，他担心黄金是否还有盈余？甚至 可能短缺。最后的结果究竟如何呢？ 解：求解此例，关键在于计算教堂顶部表面积， 其中 椭球面中心为坐标原点建立直角坐标系，则教堂顶部 半椭球面的方程可写为 取 引入广义极坐标变换 不难得到表面积为 这个积分式十分复杂，必须用数值方法来处理， 由于被积表达式在 用上述积分方法， 处的奇