导数的应用问题常见类型及解法.ppt

五、比较大小及证明不等式问题 【理论阐释】 导数的应用问题 常见类型及解法 导数的应用问题主要是利用导数研究函数的问题，其中函数是载体，导数是工具。该类问题的常见类型有：切线问题、单调性问题、极值（或最值）问题、恒成立问题、比较大小及证明不等式问题、零点问题以及以上各个问题的综合等。 一、切线问题 【理论阐释】 【典例导悟】 二、单调性问题 【理论阐释】 【典例导悟】 三、极值（或最值）问题 【理论阐释】 【典例导悟】 四、恒成立问题 【理论阐释】 【典例导悟】 【解析】(1)的定义域为。 （i）若即,则 故在单调增加。 【解析】由题意可知函数的定义域为 ，3，又因为曲线 存在垂直于轴的切线， 所以方程3 【答案】 由导数的几何意义可知，可导函数在点处切线的斜率，从而可由点斜式求出曲线在点P处的切线方程。切线问题包括求切线的方程及求参数取值。对于这些问题，一要把握住切点的 “三重身份”：①切点在曲线上，②切点在切线上，③；二要注意所给点是否在曲线上。 用导数研究函数的单调性问题体现在两个方面： 1.判断可导函数的单调性、求单调区间 函数f(x)在区间(a,b)内是单调递增或递减的判定可依据单调性定义也可利用导数，应根据问题的具体条件适当选用方法，有时须将区间(a,b)划分成若干小区间，在每个小区间上分别判定单调性。  设函数在某区间内可导，则在该区间上单调递增； 在该区间上单调递减． 用导数法确定函数的单调性时的步骤是： 1．函数的极值： 导数是解决函数极值问题最有效的工具。对于可导函数，当有实数根，且导函数的函数值在两侧的值异号时，则在处有极值。函数极值只反映函数在某点附近值的大小情况。在某区间上函数的极值可能有若干个，而且极小值未必小于极大值。仅是函数在点处有极值的必要条件，点是的极值点，当且仅当在的左右的符号产生变化。 利用函数的极值、最值并结合数形结合的数学思想就可以判断出的根的个数，从而就可以得出函数的零点的个数。包括两种情况：给函数解析式求零点的个数；由零点的情况求参数的取值范围。 用导数法确定函数的单调性时的步骤是： (1)求出函数的导函数 (2)求解不等式 求得其解集,再根据解集写出单调递增区间; (3)求解不等式求得其解集,再根据解集写出单调递减区间; 注意：①单调区间不以“并集”出现。②单调区间应在“定义域”内。 2.求参数范围问题 已知可导函数在M上单调，求参数范围的问题可转化为求使（或）在M上恒成立来解决即：若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）． （1）极值的概念：函数在点附近有定义，且若对附近的所有点都有（或），则称为函数的一个极大（小）值，称为极大（小）值点． （2）求函数极值的一般步骤： ①求导数；②求方程的根；③检验在方程的根的左右的符号，如果是左正右负（左负右正），则在这个根处取得极大（小）值．口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。 2．函数的最值： 函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。连续函数在闭区间[a,b]上必有一个最大值和一个最小值，但是最值点可以不唯一。在实际问题中，要由实际问题的背景构造出相应的函数关系式,并注明其定义域，当在定义域内只有一个解时，则此点即为函数的最值点。求函数的最值的步骤为①求函数在区间上的极值；②将极值与区间端点函数值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值． 该类问题包括两种情况：已知函数的解析式求极值（最值）；已知函数的极值（最值）求参数范围。 【例2】(2009山东高考) 两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ；当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065. 如果定义在M上的含参不等式恒成立等价于在M上，进而可以用导数求函数的最小值，再求参数的取值范围。 【例1】（2009重庆高考）把函数的图像 向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到图 像．若对任意的，曲线与至多只有一个交点， 则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【解析】选B.根据题意曲线的解析式为 则方程， 即=0，因为至多有一个交点， 故 即对任意恒成立，于是大于等于 的最