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调和点列 第 1 页 共 3 页 研究图形在射影变换下不变性的一个几何学分支。射影几何学产生的最初动力，来自 为了帮助绘画而对透视进行的研究。在17世纪，G.德扎格和B.帕斯卡建立了射影几何学中 著名的定理。后来在19世纪，又经过J.V.彭赛列、J.施泰纳、K.G.C.von 施陶特、A.F.麦比乌 斯、A.凯莱等几何学家的工作，使射影几何学得到蓬勃的发展，达到鼎盛的时期。 经过有限次两平面间的中心投影（透视）得到的平面上的一一点变换，称为平面上的 射影变换。对于直线上的4点A，B，C，D，把各有向线段的量之间的比值 称为这4点的交比，记为（AB，CD）。交比为－1的4个点组成调和点列。 若同一直线上四点G、A、H、B 满足GA×HB=GB×AH, 则称它们为调和分割(harmonic division),G、H 与A、B 称为调和共轭(harmonicconjugate). 若△ABC 的三条Ceva 线AF、BE、 CH共点, 直线EF、AB 交于G, 则G、A、H、B 成调和点列. 设A、B、C、D 依次在一直线上, 若下列命题中任意两个为真, 则第三个也对 ⑴A、B、C、D 成调和点列; ⑵XB 是∠AXC 的内角平分线; ⑶XB⊥XD. 调和点列 第 2 页 共 3 页 AF、BE、CH所共的点D, 可以在△ABC 内, 也可以在△ABC 外. G、A、H、B 成调和点列 等价于 G、E、K、F 成调和点列. 延长CG、CE、CK、CF, 交GF 的平行线于G、E、K、F, 则 G、E、K、F 成调和点列 等价于 G、E、K、F成调和点列. 此时, 直线CG、CE、CK、CF称为调和线束. 调和点列 第 3 页 共 3 页 若过点C 的任意4线束, 分别截两条两条直线于 G、A、H、B 和G、A、H、B, 则(GA×HB)/(GB×AH) =(GA×HB)/(GB×AH). 同一直线上四点G、A、H 、B 的交比定义为(GA/GB):(HA/HB). 过点C 的g、a、h、b 线束的交比也可用夹角的正弦类似地定义. GAHB sin(GCA)sin(HCB)  GB AH sin(GCB)sin(ACH) d(C,AB) CACB AB  Area(ACB)  sin(∠ACB) 2 2