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第9章 非线性控制系统的分析 9.1 典型非线性特性及其对系统性能的影响 9.2 非线性控制系统的分析方法 9.1 典型非线性特性及其对系统性能的影响 与线性系统相比，非线性系统具有如下特点： （1）非线性系统不适用叠加原理，输出与输入间不存在线性比例关系。 （2）非线性系统的稳定性不仅与系统的结构和参数有关，而且还和输入信号与初值的大小（初始偏差）有关。例如小初始偏差时稳定的系统，大偏差时就可能不稳定。 （3）自振：所谓自振，是在没有外施信号作用时，非线性系统产生的具有固定振幅和频率的稳定振荡现象；而线性系统的等幅振荡则只是系统的一种临界稳定状态，只要系统的参数稍有变化，这种临界等幅振荡就会趋于发散或者变为收敛。也就是说，线性系统的这种等幅振荡是暂时性的，而非线性系统的自振则是稳定的、顽固的。 （4）跳跃谐振与多值响应：当输入信号的频率由小到大和由大到小变化时，非线性系统的幅频值可能出现突跳式的不连续现象，即所谓跳跃谐振与多值响应，如图9.1-1所示。 （5）组合频率响应：当输入某正弦信号时，非线性系统的输出一般都是由输入正弦的各次谐波（组合频率）分量所组成的非正弦周期函数，具有组合频率响应的特点。 1）?饱和特性 （9.1-1） 2） 死区特性 所谓死区也叫不灵敏区，系指输入信号偏小时，死区特性元件没有输出，仅当输入增加到某个值以上时，该元件才有输出。死区特性及其等效变增益特性如图9.1-3 a.、b. 所示。 死区特性对系统产生的主要影响有： ① 使系统的稳态误差增大、定位精 度降低； ② 当系统的输入信号为斜坡等函数时， 还会引起系统输出在时间上的滞后； ③ 小信号时，死区特性的等效增益 k很小， 能提高小起始偏差情况下的系统稳定性； ④ 等效增益会减小系统的总开环增益，可提高系统的平稳性，降低动态振荡 倾向； ⑤ 死区能滤掉从输入端引入的小幅值干扰信号，从而提高系统对小扰动的抗干扰能力。 3）间隙特性 在机械传动中，为了保证齿轮在传动中转动灵活、防止发生齿轮啮合卡死现象，齿轮之间总是留有一定的间隙。由于间隙的存在，当主动轮的运动方向改变时，主动轮需要转过与从动轮之间的间隙行程后，才能推动从动轮转动。齿轮传动及其间隙特性如图9.1-4所示。 系统中若有间隙特性元件，不仅会使系统的输出产生相位滞后，导致系统稳定裕量的减小，使动态性能恶化，容易产生自振；而且间隙区会降低定位精度、增大系统静差。 继电特性 继电器、接触器等都具有继电特性。实际继电器工作时，只有流经线圈的电流大于吸合值（或线圈两端所加的电压大到某一数值）后，继电器的衔铁方能吸合，所以，继电特性一般都有死区存在。此外，由于继电器的吸合电流一般都大于释放电流，因此，实际的继电特性具有滞环特点。三种典型的继电特性如图9.1-5所示。 图9.1-5中，图 a. 为不考虑死区和滞环的理想继电特性；图 b. 为只考虑死区的继电特性；图 c. 为只考虑滞环的继电特性；图 d. 则为带滞环的实际继电特性。 9.2　非线性控制系统的分析方法 目前研究非线性控制系统的常用工程方法有如下四种： (1) 相平面法：将控制系统的运动过程用相平面上某点的移动轨迹来表示，是一种通过时域求解一、二阶常微分方程，绘制、分析相轨迹的图解法；能够比较直观、准确、全面地分析一、二阶线性或非线性控制系统的稳定性、平衡位置、时间响应、稳态精度以及初值与参数对控制系统运动的影响；缺点是仅限于一、二阶系统的分析。 (2) 描述函数法：在一定的假设条件下，通过谐波线性化近似，对非线性部件的基波输出分量进行频域分析，是线性系统频率特性法在非线性控制系统的推广，主要用于系统稳定性和自振的分析，这种方法不受系统阶次的限制，对非线性控制系统的初步分析和设计非常方便；缺点是不能给出时间响应的确切信息，不如相平面法精确。 (3) 李雅普诺夫法：通过构造李雅普诺夫函数，根据能量的收敛或发散来分析非线性控制系统的稳定性（详见下篇：现代分析方法）；缺点是构造合适的李雅普诺夫函数比较困难。 (4) 计算机求解法：通过计算机直接求解非线性系统的微分方程，可以分析和设计复杂的非线性控制系统，随着计算机的广泛应用，计算机求解法将有更大的发展前景。 9.2.1 ?相平面法 1）相平面法的基本概念 一般二阶时不变系统的常微分方程为