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最大公因数和最小公倍数应用的典型例题和专题练习 [典型例题] 例1、有三根铁丝，一根长18米，一根长24米，一根长30米。现在要把它们截成同样长的小段。每段最长可以有几米？一共可以截成多少段？ 分析与解： 截成的小段一定是18、24、30的最大公因数。先求这三个数的最大公因数，再求一共可以截成多少段。 解答： （18、24、30）＝6 （18+24+30）÷6＝12段 答：每段最长可以有6米，一共可以截成12段。 例2、一张长方形纸，长60厘米，宽36厘米，要把它截成同样大小的长方形，并使它们的面积尽可能大，截完后又正好没有剩余，正方形的边长可以是多少厘米？能截多少个正方形？ 分析与解： 要使截成的正方形面积尽可能大，也就是说，正方形的边长要尽可能大，截完后又正好没有剩余，这样正方形边长一定是60和36的最大公因数。 解答： （36、60）＝12 （60÷12）×（36÷12）＝15个 答：正方形的边长可以是12厘米，能截15个正方形。 例3、用96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束。若每个花束里的红玫瑰花的朵数相同，白玫瑰花的朵数也相同，最多可以做多少个花束？每个花束里至少要有几朵花？ 分析与解： 要把96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做成花束，每束花里的红白花朵数同样多，那么做成花束的个数一定是96和72的公因数，又要求花束的个数要最多，所以花束的个数应是96和72的最大公因数。 解答： （1）最多可以做多少个花束（96、72）＝24 （2）每个花束里有几朵红玫瑰花96÷24＝4朵 （3）每个花束里有几朵白玫瑰花72÷24＝3朵 （4）每个花束里最少有几朵花4+3＝7朵 例4、公共汽车站有三路汽车通往不同的地方。第一路车每隔5分钟发车一次，第二路车每隔10分钟发车一次，第三路车每隔6分钟发车一次。三路汽车在同一时间发车以后，最少过多少分钟再同时发车？ 分析与解： 这个时间一定是5的倍数、10的倍数、6的倍数，也就是说是5、10和6的公倍数，“最少多少时间”，那么，一定是5、10、6的最小公倍数。 解答： ［5、10、6］＝30 答：最少过30分钟再同时发车。 例5、某厂加工一种零件要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成3个；第二道工序每个工人每小时可完成12个；第三道工序每个工人每小时可完成5个。要使流水线能正常生产，各道工序每小时至少安排几个工人最合理？ 分析与解： 安排每道工序人力时，应使每道工序在相同的时间内完成同样多的零件个数。这个零件个数一定是每道工序每人每小时完成零件个数的公倍数。至少安排的人数，一定是每道工序每人每小时完成零件个数的最小公倍数。 解答： （1）在相同的时间内，每道工序完成相等的零件个数至少是多少？［3、12、5］＝60 （2）第一道工序应安排多少人60÷3＝20人 （3）第二道工序应安排多少人60÷12＝5人 （4）第三道工序应安排多少人60÷5＝12人 例6、有一批机器零件。每12个放一盒，就多出11个；每18个放一盒，就少1个；每15个放一盒，就有7盒各多2个。这些零件总数在300至400之间。这批零件共有多少个？ 分析与解： 每12个放一盒，就多出11个，就是说，这批零件的个数被12除少1个；每18个放一盒，就少1个，就是说，这批零件的个数被18除少1；每15个放一盒，就有7盒各多2个，多了2×7＝14个，应是少1个。也就是说，这批零件的个数被15除也少1个。 解答： 如果这批零件的个数增加1，恰好是12、18和15的公倍数。 1、刚好能12个、18个或15个放一盒的零件最少是多少个［12、18、15］＝180 2、在300至400之间的180的倍数是多少180×2＝360 3、这批零件共有多少个360-1＝359个 例7、公路上一排电线杆，共25根。每相邻两根间的距离原来都是45米，现在要改成60米，可以有几根不需要移动？ 分析与解： 不需要移动的电线杆，一定既是45的倍数又是60的倍数。要先求45和60的最小公倍数和这条公路的全长，再求可以有几根不需要移动。 解答： 1、从第一根起至少相隔多少米的一根电线杆不需移动？［45、60］＝180（米） 2、公路全长多少米？45×（25-1）＝1080（米） 3、可以有几根不需要移动？1080÷180+1＝7（根） 例8、两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？ 分析与解： 根据“两个自然数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。”先求出4与252的乘积，再用积去除以28即可。 4×252÷28=1008÷28=36 有38支铅笔和41本练习本平均奖给若干个好少年，结果铅笔多出3支，练习本还缺1本。得奖的好少年有多少人？小学五年级学生，分为6人一组，8人一组或9人一组排队做早操，都刚好分完。这