第二节中心极限定理.ppt

比较几个近似计算的结果 中心极限定理 二项分布(精确结果) Poisson 分布 Chebyshev 不等式 定理7: (李雅普诺夫定理) 设随机变量 相互独立,它们具有数学期望和方差: 则随机变量 的分布函数 Fn(x) 对于任意的 x 满足 例7 某保险公司有10000个同龄又同阶层的人 参加人寿保险，已知该类人在一年内死亡的概率 为0.006，每个参加保险的人在年初付12元保险 费，而在死亡时家属可向公司领得1000元。问在 此项业务活动中： (1) 保险公司亏本的概率是多少？? (2)保险公司获得利润不少于40000元的概率是 多少？ 解：设这10000人中一年内死亡的人数为ξ ， 则ξ~B(10000,0.006), 保险公司一年收取 10000×12=120000 (元) 保险费, 故仅当每年死亡人数超过120人时公司才 会亏本，当每年死亡人数不超过80人时公司获利 不少于40000元。由此可知，所求的概率分别为 及 由中心极限定理，有 例8 设每次试验中，事件 A 发生的概率为 0.75, 试用中 解 设ξ表示 n 次独立重复试验中事件 A发生的次 ξ ~ B(n, 0.75) 心极限定理估计, n 多大时, 才能在 n 次独立重复试验中, 事件 A 出现的频率在0.74 ~ 0.76 之间的概率大于 0.90? 数 , 则 要使 ，求 n 问题 由德莫佛-拉普拉斯定理 由此可得 查表可得 由此解得 我们介绍了中心极限定理 在后面的课程中，我们还将经常用到中心 中心极限定理是概率论中最著名的结果 之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和 的近似概率的简单方法，而且有助于解释为 什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲 线这一值得注意的事实. 极限定理. * 4.2 中心极限定理 中心极限定理的客观背景 在实际问题中，常常需要考虑许多随机 例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受 因素所产生总影响. 着许多随机因素的影响. 空气阻力所产生的误差， 对我们来说重要的是这些随机因素的总影响. 如瞄准时的误差， 炮弹或炮身结构所引起的误差等等. 观察表明，如果一个量是由大量相互独 自从高斯指出测量误差服从正 态分布之后，人们发现，正态分布 在自然界中极为常见. 立的随机因素的影响所造成，而每一个别因 素在总影响中所起的作用不大. 则这种量一 般都服从或近似服从正态分布. 现在我们就来研究独立随机变量之和所 当n无限增大时，这个和的极限分布是 在什么条件下极限分布会是正态的呢？ 特有的规律性问题. 什么呢？ 由于无穷个随机变量之和可能趋于∞， 的分布函数的极限. 故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑 它的标准化的随机变量 的分布函数的极限. 可以证明，满足一定的条件，上述极 考虑 中心极限定理 这就是下面要介 绍的 限分布是标准正态分布. 在概率论中，习惯于把和的分布 我们只讨论几种简单情形. 下面给出的独立同分布随机变量序列 收敛于正态分布这一类定理都叫做中心 极限定理. 的中心极限定理，也称列维一林德伯格 （Levy－Lindberg）定理. 定理4.5 (独立同分布的中心极限定理) 设随机变量序列 独立同分布，且具有数学期望和方差, 则随机变量 的分布函数Fn(x) , 对于任意 x ,有 它表明，当n充分大时，n个具有期望和方差 虽然在一般情况下，我们很难求出和 的独立同分布的 r.v 之和近似服从正态分布. 的分布的确切形式，但当 n 很大时，可以求出近似分布. 中心极限定理的意义 在第二章曾讲过有许多随机现象服从 正态分布是由于许多彼次没有什么相依关 系、对随机现象谁也不能起突出影响，而 均匀地起到微小作用的随机因素共同作用 (即这些因素的叠加)的结果. 则它可被看成为许多相互独立的起微小作 或近似服从正态分布. 若联系于此随机现象的随机变量为 用的因素 的总和 ，而这个总和服从 高尔顿钉板试验 O x -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 记 则 近似 共15层小钉 小球碰第 层钉后向右落下 小球碰第 层钉后向左落下 高尔顿( Francis Galton,1822-1911) 英国人类学家和气象学家 例1 炮火轰击敌方防御工事 100 次, 每次 轰击命中的炮弹数服从同一分布, 其数学期 望为 2 , 均方差为1.5. 若各次轰击命中的炮 弹数是相互独立的, 求100 次轰击