第二节定积分基本定理.ppt

一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 第二节 微积分基本定理 积分的基本原理：微积分基本定理，由艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨在十七世纪分别独自确立。微积分基本定理将微分和积分联系在一起，这样，通过找出一个函数的原函数，就可以方便地计算它在一个区间上的积分。积分和导数已成为高等数学中最基本的工具，并在自然科学和工程学中得到广泛运用。 积分的一个严格的数学定义由波恩哈德·黎曼给出（参见条目黎曼积分）。黎曼的定义运用了极限的概念，把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限。从十九世纪起，更高级的积分定义逐渐出现，有了对各种积分域上的各种类型的函数的积分。比如说，路径积分是多元函数的积分，积分的区间不再是一条线段（区间[a,b]），而是一条平面上或空间中的曲线段；在面积积分中，曲线被三维空间中的一个曲面代替。对微分形式的积分是微分几何中的基本概念。 对积分概念的推广来自于物理学的需要，并体现在许多重要的物理定律中，尤其是电动力学。现代的积分概念基于抽象代数学，主要是由昂利·勒贝格建立的勒贝格积分。 设 记作 积分上限函数 定积分与积 分变量无关 一、积分上限函数及其导数 1. 定义 又确定了一个在 上的新函数， 即 上的上限变动的定积分 在区间 2. 定理1 且 证 因为 若 思路： 根据导数的定义，“求增量、算比值、取极限” 积分中值定理 显然 又 注 定理说明了： 若 就是 在 上的一个原函数. 由此 肯定了连续函数的原函数是存在的 揭示了定积分与原函数之间的关系 证 3. 定理1` ⑴ (3) (2) 例1 解 例2 解 解 例3 例4 解 只要证 即可。 例5 在 内是单调增加函数。 证 / 在 内是单调增加函数。 例6 证 证 是单调增加的。 例6 证明 是单调增加的。 函数 是连续的正函数，函数 对一切实数 又 例7 设 在 上连续，在 内可导且 证明在 内有 证 积分中值定理 拉格朗日中值定理 证 是 的一个原函数， 二、牛顿--莱布尼茨（Newton-leibniz）公式 1 定理2 也是 的一个原函数， 而 所以Newton-Leibniz 公式也称 微积分基本公式. 解 解 求 例1 求 例2 解 求 在 上与 轴所围成的平面图形的面积。 例3 注 公式又可记为： 例5 设 , 求 . 解 例6 求 解 由图形可知 解 当 时， 当 时， 求 在 内的表达式。 例7 设 解 当 时， 当 时， 求 在 内的表达式。 例8 设 当 时， * *