第二节正项级数及其审敛法、第三节绝对收敛与条件收敛.ppt

无穷级数 第二节 正项级数及其审敛法 第三节 绝对收敛与条件收敛一、交错级数及其审敛法 二、绝对收敛与条件收敛 小结 例9 解 所以此交错级数收敛， 故原级数是条件收敛． 正 项 级 数 任意项级数 审 敛 法 1. 2. 4.充要条件 5.比较法 6.比值法 7.根值法 4.绝对收敛 5.交错级数 (莱布尼茨定理) 3.按基本性质; 解 由比较审敛法知 收敛. 反之不成立. 例如： 收敛, 发散. 思考题 1. 求极限 解 考察正项级数 由比值法得 收敛 由级数收敛的必要条件得 补充题 * 1.定义: 这种级数称为正项级数. 定理 2.正项级数收敛的充要条件: 显然，正项级数的部分和数列为单调增加数列 正项级数非常重要，许多级数的收敛性问题都可归结为正项级数的收敛性问题. 证明 即部分和数列有界 3.比较审敛法 定理证毕. 比较审敛法的不便: 须有参考级数. 解 则 重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数. 证明 比较审敛法是一基本方法，但应用起来却有许多不便，因为它需要建立定理所要求的不等式，而这种不等式常常不易建立，为此介绍在应用上更为方便的极限形式的比较审敛法。 4.比较审敛法的极限形式: 设 ? ￥ = 1 n n u 与 ? ￥ = 1 n n v 都是正项级数 , 如果 则 (1) 当 时 , 二级数有相同的敛散性 ; (2) 当 时，若 收敛 , 则 收敛 ; (3) 当 时 , 若 ? ￥ = 1 n n v 发散 , 则 ? ￥ = 1 n n u 发散 ; 证明 由比较审敛法的推论, 得证. 设正项级数 ? ￥ = 1 n n u 和 ? ￥ = 1 n n v 的一般项 均为 时的无穷小, 且 则二级数有相同的敛散性. 解 故原级数发散. 故原级数收敛. 故原级数收敛. 证明 原级数收敛 原级数发散 比值审敛法的优点: 不必找参考级数. 两点注意: 解 比值审敛法失效, 改用比较审敛法 例5 解 由于 不存在，比值审敛法失效， 而 对 由比值审敛法得 收敛 故由比较审敛法知 收敛 例6 解 故 级数收敛 级数发散 比值审敛法失效 故级数发散 由 证明 取 由 知 由 收敛及比较审敛法得 收敛 收敛 由 知 故 不趋于 0 发散 不能判定 如 都有 但 收敛 发散 解 故 级数收敛 级数发散 根值审敛法失效 但此时级数为 1.定义: 正、负项交错的级数称为交错级数. 证明 满足收敛的两个条件, 定理证毕. 解 原级数收敛. 证明 un 单调减的方法: ？ ？ ？ 定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. 证明 上定理的作用： 任意项级数 正项级数 解 故由定义知原级数绝对收敛. 将正项级数的比值审敛法和根值审敛法应用于判定任意项级数的敛散性可得到如下定理： 定理 设有级数 则 绝对收敛 发散 可能绝对收敛，可能条件收敛，也可能发散 如 注意 一般而言，由 发散，并不能推出 发散 如 发散 但 收敛 若 发散是由比值审敛法或根值审敛法而审定 则 必定发散 这是因为比值法和根值法 审定级数发散的原因是通项不趋向于0 由 * *