第二节课三段论与证明.ppt

* 数学证明专题 理解推理论证的要旨， 掌握数学证明的钥匙. 授课时间：13.03.11. 1.三段论是演绎推理的一般模式， 数学证明是用演绎推理，从 已知推出结论的思维过程. 2.在三段论中： 　“大前提、小前提、结论”构成 　一个推理，即 ∵ M （大前提） 又 P （小前提） ∴ Q （结论） 在数学证明的过程中，每一 步推理的“∵……，∴……”就是 一个演绎推理，整个过程就 由一个或多个这种推理有序 衔接而成. 3.证明过程中，思考的推理（模式）是三段论，而为了叙述简洁 表现（书写）的形式呈现的一般是“两段论”（省略了大前提）. 3.证明过程中，思考的推理（模式）是三段论，而为了叙述简洁 表现（书写）的形式呈现的一般是“两段论”（省略了大前提）. ∵ M （大前提） 又 P （小前提） ∴ Q （结论） 大前提——已知的一般性原理. 小前提——所研究的特殊情况. 结　论——根据一般性原理， 　　　　　对特殊情况作出 　　　　　的判断. 证明： 例如　用三段论证明：在梯形ABCD中， 　　　则　　　　　　 . ∵等腰梯形同一底上的两 　个底角相等， ∵ 在梯形ABCD中， 即 梯形ABCD是等腰梯形. 又 ∴ （大前提） （小前提） （结论） 思维提炼：证明就是根据求证的结论，并结合已知的条件，寻找能推出结论 　　　　的大前提（已知的定义、公理、定理、性质等）。而这个“大前提” 　　　　被证明者想到并运用，一般又不用写出来（是“显然”的）。 ∵ M （大前提） 又 P （小前提） ∴ Q （结论） 大前提——已知的一般性原理. 小前提——所研究的特殊情况. 结　论——根据一般性原理， 　　　　　对特殊情况作出 　　　　　的判断. 证明： 例如　用三段论证明：在梯形ABCD中， 　　　则　　　　　　 . 在四边形AECD中，AD∥BC,AE∥DC 运用不同的“大前提”， 自然得到不一样的推理 表现，呈现的也就是证 明过程. 过点A作 ∵ 两组对边分别平行的四这形是 　　平行四边形（大前提） 又 ∴ 四边形AECD是平行四边形.（结论） （小前提） 又 四边形AECD是平行四边形（小前提） ∴ AE=AB（结论） ∵ 平行四边形的对边相等（大前提） 又　四边形AECD是平行四边形（小前提） ∴ AE=DC（结论） ∵　等腰三角形的两个底角相等（大前提） ∵ 等于同一个量的两个量相等（大前提） 又　在三角形ABC中，AE=AB, 　　即三角形ABE是等腰三角形（小前提） 又 AE=DC,AB=DC（小前提） ∵ 平行四边形的对边平行（大前提） ∴ AE∥DC（结论） ∴　∠B=∠BEA（结论） （小前提） （结论） 又 （大前提） ∵ 等于同一个量的两个量相等 ∴ 又 ∠BEA和∠C是两平行线AE,DC被BC所截得到的同位角（小前提） ∴ ∠C=∠BEA（结论） ∵ 两条直线平行，同位角相等（大前提） 下面我们来研究：作为两次作业题的课本第44页　Ａ：２． （小前提） （大前提） 如图，PD⊥平面ABC，AC=BC，D为AB的中点，求证：AB⊥PC. （结　论） 又 AB⊥平面PDC, PC?平面PDC（小前提） 证明： ∵ 垂直平面的直线，垂直于平面内的任意一条直线（大前提） 又 PD⊥平面ABC, AB?平面ABC（小前提） ∴ PD⊥AB（结论） ∵ 等腰三角形底边上的中线垂直于底边（大前提） 又 在△ABC中，AC=BC，D为AB的中点（小前提） ∴ CD⊥AB（结论） ∵ 与两条相交直线垂直的直线，垂直于两条相交直线所在的平面（大前提） 又 AB⊥PD,AB⊥CD, 而PD∩CD=D（小前提） ∴ AB⊥平面PDC（结论） ∵ 垂直平面的直线，垂直于平面内的任意一条直线（大前提） ∴ AB⊥PC（结论） ？ ？ 推理① 推理② 推理③ 推理④ 下面我们来研究：作为两次作业题的课本第44页　Ａ：２． 如图，PD⊥平面ABC，AC=BC，D为AB的中点，求证：AB⊥PC. 又 PC?平面PDC 证明： ∵PD⊥平面ABC, AB?平面ABC ∴ PD⊥AB ∵ AC=BC，D为AB的中点 ∴ CD⊥AB ∵ AB⊥PD,AB⊥CD, 而PD∩CD=D ∴ AB⊥平面PDC ∴ AB⊥PC （用综合法写证明过程如下） 过A作AE⊥SB于E １．证BC⊥AE 周练19.如图，S为△ABC所在平面外一点， SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC. 求证：AB⊥BC. 证明思路： E A B C S 2．证BC⊥SA 3．证AB⊥BC 得证BC⊥平面SAB 解： 课本第42.练习：１．求证：对于任意角 分析： 观察求证的结论，联想学过的三角知识—