第五章方差分析(第一节).pptVIP

第一节 方差分析的基本原理与步骤 一、线性模型与基本假定 二、自由度与平方和的分解 三、F检验 四、多重比较 五、单一自由度的正交比较* 一、线性模型与基本假定 假设某单因素试验有k个处理，n次重复，完全随机设计，则共有nk个观察值，其数据结构和符号如表5.1。 每个观察值可用如下数学模型表示： 方差分析的线性数学模型 方差分析的数学模型就是指试验资料的数据结构或者说是每个观察值的线性组成部分，它是进行方差分析的基础。 表示为总平均数μ、处理效应αi、试验误差εij 之和。由εij相互独立且服从正态分布N（0，σ2），可知各处理Ai(i=1，2，…，k)所属总体亦应具正态性，即服从正态分布N(μi,σ2)。尽管各总体的均数可以不等或相等，σ2则必须是相等的。 每个观察值实际上包含两个方面的变异：处理间变异和处理内变异。 所以，单因素试验的数学模型可归纳为：效应的可加性（additivity）、分布的正态性（normality）、方差的同质性（homogeneity）。 这也是进行其它类型方差分析的前提或基本假定。 二、平方和与自由度的分解 自由度和平方和的简便计算公式 三、F检验 方差分析的一个基本假定是要求各处理观测值总体的方差相等，即 （i=1,2,…,k）表示第i个处理观测值总体的方差。如果所分析的资料满足这个方差同质性的要求，那么各处理的样本方差 都是σ2的无偏估计（unbiased estimate）量。 (i=1,2,…,k)是由试验资料中第i个处理的n个观测值算得的方差。 显然，各 的合并方差 （以各处理内的自由度n-1为权的加权平均数）也是σ2的无偏估计量，且估计的精确度更高。很容易推证处理内均方MSe就是各 的合并。 其中SSi、dfi（i=1,2,…,k）分别表示由试验资料中第i个 处理的n个观测值算得的平方和与自由度。这就是说，处理内均方MSe是误差方差的无偏估计量。 试验中各处理所属总体的本质差异体现在处理效应 的差异上。我们把 称为效应方差，它也反映了各处理观测值总体平均数的变异程度，记为 。 因为各 未知，所以无法求得 的确切值，只能通过试验结果中各处理均数的差异去估计。然而， 并非 的无偏估计量。 这是因为处理观测值的均数间的差异实际上包含了两方面的内容：一是各处理本质上的差异即 （或 ）间的差异，二是本身的抽样误差。统计学上已经证明， 是 的无偏估计量。因而，我们前面所计算的处理间均方MSt实际上是 的无偏估计量。 因为 MSe 是σ2 的无偏估计量， MSt是 的无偏估计量，所以 为MSe的数学期望（mathematical expectation）， 为MSt的数学期望。又因为它们是均方的期望值（expected value），故又称期望均方，简记为EMS（expected mean squares）。 当处理效应的方差 =0，亦即各处理观测值总体平均数μi（i=1，2，…,k）相等时，处理间均方MSt与处理内均方一样，也是误差方差σ2的估计值。 方差分析就是通过MSt 与MSe的比较来推断 是否为零即 是否相等。统计学已证明，在 =0的条件下，服从自由度df1=k-1与df2=k（n-1）的F分布。即 例5.1 有一水稻施肥的盆栽试验，设置了5个处理：A1和A2分别施用两种不同工艺流程的氨水，A3施碳酸氢铵，A4施尿素，A5不施氮肥。每个处理各4盆（施氮处理的施肥量每盆皆为折合纯氮1.2克），共有5×4＝20盆，随机置于同一盆栽场。其稻谷产量（g/盆）列于表5-2。 计算各变异来源的平方和和自由度 方差分析 表5.2资料的方差分析表 四 多重比较(multiple comparison) 最小显著差数法 最小显著极差法 1. 新复极差法 2. q测验法 多重比较结果的表示方法 多重比较方法的选择 最小显著差数法 最小显著