第十一章第五节.pptVIP

是非题 是以原点为中心的球面. 由对称性知 对坐标的曲面积分 解答 预备知识 概念的引入 概念与性质 小结 思考题 作业 对坐标的曲面积分的计算法 两类曲面积分之间的联系 surface integral 第五节 对坐标的曲面积分 第十章 曲线积分与曲面积分 曲面分上侧和下侧 曲面分内侧和外侧 1.有向曲面 通常光滑曲面都有两侧. 如流体从曲面的这一侧流向另一侧的流量问题等. (假设曲面是光滑的) 对坐标的曲面积分 一、预备知识 规定 (1)双侧曲面 2. 曲面的分类 法向量的方向来区分曲面的两侧. 对坐标的曲面积分 (2) 单侧曲面 ----莫比乌斯(Mobius)带. 不通过边界可以 这在双侧曲面上是不能实现的. 决定了侧的曲面称为 小毛虫在莫比乌斯带上, 爬到任何一点去. 有向曲面. 对坐标的曲面积分 Mobius(1790--1868) 19世纪德国数学家 3. 有向曲面在坐标面上的投影 设Σ是有向曲面. 假定 有相同的符号. 在有向曲面 取一小块 对坐标的曲面积分 写出来?? 流向曲面一侧的流量. 流量 实例 ( 为平面A的单位法向量) (斜柱体体积) (1) 流速场为常向量 有向平面区域 A, 求单位时间流过A的流体的质量 (假定密度为1). 对坐标的曲面积分 二、概念的引入 (2) 设稳定流动的不可压缩流体 函数 流体的密度与速度均不随时间而变化 (假定密度为1) 速度场: 当 不是常量, 曲面 求在单位 时间内流向 指定侧的 流体的质量 是速度场中的一片有向曲面, 对坐标的曲面积分 分割 法向量为 对坐标的曲面积分 取近似 高 底 ) , cos( | | i i i n v v r r r 求和 取极限 对坐标的曲面积分 1. 定义 三、概念与性质 对坐标的曲面积分 被积函数 积分曲面 存在, 则称此极限为 (第二类曲面积分). 如曲面为封闭曲面: 对坐标的曲面积分 2. 存在条件 对坐标的曲面积分存在. 在有向光滑 连续, 对坐标的曲面积分 3.组合形式 4.物理意义 流向Σ指定侧的流量: 有向曲面元 向量的形式 对坐标的曲面积分 ) d d , d d , d d ( S d y x x z z y = r 5.性质 (1) (2) (3) 对坐标的曲面积分 当曲面Σ (4) 母线平行于z 轴的柱面时, 表示Σ相反的一侧 . 也有类似的结果 , , 的曲面积分 性质对坐标 zx yz 对坐标的曲面积分 上侧, 四、对坐标的曲面积分的计算法 设积分曲面Σ是由 的曲面 Σ在xOy面 上的投影区域为 函数 具有一阶连续偏导数, 被积函数R(x, y, z)在Σ上连续. Σ 取上侧 对坐标的曲面积分 xy xy i S ) ( ) ( s D D = \ 对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的 注 侧. 对坐标的曲面积分 计算对坐标的曲面积分时: 认定对哪两个坐标的积分,将曲面Σ 表为这两个变量的函数,并确定Σ的投影域. (2) 将Σ 的方程代入被积函数, 化为投影域上的二重积分. (3) 根据Σ的侧 (法向量的方向) 确定 二重积分前的正负号. 对坐标的曲面积分 解 投影域 对坐标的曲面积分 例 计算 其中Σ是球面 外侧在 的部分. 例 其中Σ是 所围成的正方体的表面的 Σ2 Σ4 Σ5 Σ6 Σ3 解 三个坐标面与平面 外侧. 对坐标的曲面积分 Σ1 投影域均为: 0≤y≤a, 0≤z≤a, 设有向曲面Σ是由方程 给出, 五、两类曲面积分之间的联系 对坐标的曲面积分 Σ在xOy是由方程面上投影区域为 不论哪一侧都成立. 向量形式 有向曲面元 对坐标的曲面积分 解 例 下侧. 对坐标的曲面积分 对坐标的曲面积分 由对称性 例 其中Σ 解 法一 直接用对坐标的曲面积分计算法. 在第一卦限部分的 上侧. 对坐标的曲面积分 ò ò - + - - 1 0 1 0 d ) 2 2 2 ( d x y x y x x 法二 利用两类曲面积分的联系计算. Σ取上侧, . 对坐标的曲面积分 若分片光滑的闭曲面Σ 0 其中 注 补充 x的偶函数 x的奇函数 曲面Σ不封闭也可以. 取外侧(内侧仍成立), 关于yOz平面对称, 对坐标的曲面积分 例 其中Σ: 下侧. 关于zOx面对称, 解 关于yOz面对称, 对坐标的曲面积分 原式= 解 对坐标的曲面积分 求 , ) 0 ( 围成立体表面的外侧 r 对坐标的曲面积分 关于曲面侧的性质 对坐标的曲面积分 六、小结 对坐标的曲面积分的计算 对坐标的曲面积分的概念 四步:分割、取近似、求和、取极限 思想: 化为二重积分计算; 对坐标的曲面积分的物理意义 注意: “一投, 二代, 三定号”