第十二章第二节逆变换与逆矩、矩阵的特征向量.ppt

即方程组的解为 2．(2010·福州预测卷)用矩阵方法求二元一次方程组 的解． ? 解：已知方程组可以写为 令M＝ 其行列式为： ＝2×1－3×(－5)＝17≠0， 所以M－1＝ 所以 即方程的解为 1．关于特征值问题的一般解法如下： 给定矩阵A＝ ，向量α＝ ，若有特征值λ， 则 即 即λ2－(a＋d)λ＋(ad－bc)＝0. 2．对于矩阵来说，矩阵的一个特征向量只是属于A的一 个特征值；属于矩阵A的不同特征值的特征向量相互之 间一定不共线，若α是矩阵A的属于特征值λ的一个特征 向量，则对任意的非零常数k，kα也是矩阵A的属于特 征值λ的特征向量． 已知a∈R，矩阵A＝ 对应的线性变换把点P(1,1)变成点P′(3,3)，求矩阵A的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量． 先利用一般解法求出特征值λ1、λ2，然后求出相应的特征向量. 解：由 ，得 a＋1＝3，a＝2. 矩阵A的特征多项式为 f(λ)＝ ＝(λ＋1)(λ－3)． 令f(λ)＝0，得矩阵A的特征值λ1＝－1，λ2＝3. 对于特征值λ1＝－1，解相应的线性方程组 因此，ξ1＝ 是矩阵A的属于特征值λ1＝－1的一个特征向量． 对于特征值λ2＝3，解相应的线性方程组 因此，ξ2＝ 是矩阵A的属于特征值λ2＝3的一个特征 向量． 3．求出矩阵A＝ 的特征值和特征向量． 解：矩阵A的特征多项式为 令f(λ)＝0得A的特征值为1或－1， 将1代入二元一次方程组得 解得y＝0. 令x＝k，k∈R且k≠0， 于是矩阵A的属于特征值1的一个特征向量为 ，同理可得矩阵A的属于特征值－1的一个特征向量为 . 逆矩阵的求法以及矩阵的特征值与特征向量，也是高考新增内容之一.在考查中，多考查矩阵的逆矩阵的求法及特征值特征向量的求法问题，难度不大，如2009年江苏高考21题.福建高考21题都考查了此热点内容. (2009·福建高考)已知矩阵M＝ 所对应的线性变换把点A(x，y)变成点A′(13,5)，试求M的逆矩阵及点A的坐标． [解]　依题意得 由M＝ ，得|M|＝1，故M －1＝  从而由 得 故 即A(2，－3)为所求． 本题主要考查了逆矩阵的求法，要熟练掌握此内容． * 一、逆变换与逆矩阵 1．设ρ是一个线性变换，如果存在线性变换σ，使得 ，则称变换ρ可逆，并且称σ是ρ的逆变换． 2．设A是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B，使 得， 则称矩阵A可逆，或称矩阵A是可逆矩阵，并且称B是A的 逆矩阵． σρ=ρσ=I BA=AB=E2 3．逆矩阵的性质 性质1.设A是一个二阶矩阵，如果A是可逆的，则A的逆 矩阵是_____的． 性质2.设A，B是二阶矩阵，如果A，B都可逆，则AB也可 逆，且________________． 唯一 （AB）-1=B-1A-1 4．定理：二阶矩阵A＝ 可逆，当且_____________． detA=ad-bc≠0 二、逆矩阵与二元一次方程组 1．定理：如果关于变量x，y的二元一次方程组 (线性方程组)的系数矩阵A＝ 可逆，那么该方程 组有唯一解 2．推论：关于变量x，y的二元一次方程组 其中a，b，c，d是不全为零的常数，有非零解的充 分必要条件是系数矩阵