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第四章仿射坐标与仿射平面 §4.1透视仿射与仿射对应 一、平行射影与仿射对应 二、仿射不变性与仿射不变量 §4.2仿射坐标系 一、仿射变换的代数表示 二、特殊的仿射变换 一、平行射影与仿射对应 两直线间的平行射影与仿射对应 两平面的平行射影与仿射对应： （一）.仿射不变性 （二）.仿射不变量 练习：求使得直线x+2y-1=0上的点（1，-1）变为（-1,2），其它点都不变的仿射变换。 将λ=2代入方程组得,a= 4, b =－1，c=16。 故不变直线为4x－y+16=0； 将λ=－1代入方程组得,a=1, b=－1，c=－2。故不变直线为x－y－2=0； 将λ=1代入方程组得,a=0, b=0，c=1。就本章内容而言，λ=1时，自对应直线不存在，故所求自对应直线为：4x－y+16=0和x－y－2=0。 例4 已知平行四边形ABCD的边AB,BC上各有一点E、F，且EF//AC,试证明△AED与△CDF面积相等。 例5 设ABCDEF是椭圆的内接六边形，  AB//DE,BC//EF,试证明CD//AF 作业 习题4.2第1题 复习题四第1题 求使直线x=0, y=0, x+2y-1=0分别变为直线x+y=0,x-y=0,x+2y-1=0 的仿射变换. 练习: 解: 设所求的仿射变换为 则有: 由以上(1),(2),(3)联立解得 二、常见的仿射变换 1.正交变换 正交变换使平面上共线三点变成共线三点; 不共线三点变成不共线三点, 而且保持两直线的夹角不变. (1). 平移变换 (2). 旋转变换 (3). 轴反射变换 二、常见的仿射变换 2.位似变换 注. 位似变换的基本性质 　(1) 对应点连线经过定点(位似中心); (2) 保持共线三点的简单比不变; (3) 使得直线(不过O)变为其平行直线; (4) 使得任意一对对应线段的比值等位似比k. 3.相似变换 注. 相似变换的基本性质 　 (1) 保持共线三点的简单比不变. (2) 使得任意图形变成其相似图形; 使平行直线变为平行直线. (3) 保持任意两条线段的比值不变. 从而保持两直线夹角不变. (4) 正交变换、位似变换都是其特例. 1 4.压缩变换 变为椭圆： 由此可知，圆的仿射象为椭圆。 圆： 例3.计算椭圆 的面积。 【解】设有一圆： ， 其面积为 取仿射变换为均匀压缩变换： 则该圆的仿射象为椭圆 。设它的面积为S则 A E D B C F E B F C D A T C F E D B A F E D C B A T θ θ γ γ β ɑ * * 高等几何 课 程 概 论 一、高等几何的内容 什么是射影几何？ 欧氏几何 仿射几何 射影几何 十九世纪名言 一切几何学都是射影几何 鸟瞰下列几何学 欧氏几何(初等几何) 搬动 正交变换 对图形作有限次的平移、旋转、轴反射 欧氏几何 研究图形的 正交变换不变性的科学 (统称不变性，如距离、角度、面积、体积等) 研究图形在“搬动”之下保持不变的性质和数量 仿射几何 平行射影 仿射变换 仿射几何 研究图形的 仿射变换不变性的科学 透视仿射变换 有限次平行射影的结果 仿射不变性 比如——平行性、两平行线段的比等等 射影几何 中心射影 射影变换 射影几何 研究图形的 射影变换不变性的科学 透视变换 有限次中心射影的结果 射影不变性 比如——几条直线共点、几个点共线等等 射影变换将彻底改变我们原有的几何空间观念！ §4.1透视仿射与仿射对应 （一）.两直线间的平行射影与仿射对应 A B C D 1.平行射影或透视仿射： 若直线 且 , ， ≠ ≠ , 点A,B,C,D…… ,过点A,B,C,D……作直线的平行线交于 ……，则可得直线 到直线 的一个映射。 称为平行射影或透视仿射，记为 T A B C D 原象点： A,B,C,D…… 直线a上的点 平行射影的方向：直线 透视仿射与方向有关，方向变了，则得到另外的透视仿射 O 点 O 为自对应点或二重点( 同一平面上两相交直线的公共点 ) 映象点： …… 直线上 的点 记透视仿射T： ……… 2.仿射对应： 仿射对应是透视仿射链或平行射影链 表示透视仿射链，T表示仿射 …… …… …… 仿此，每一个对应点都可以这样表示。 注： 1.仿射是有限回的平行射影组成的 2.判断仿射是否是透视仿射的方法：