第四节：推理与证明.ppt

第一章 中学数学的逻辑基础(四) 第四节 推理与证明 提 纲 第四节 推理与证明 4.1 推理的意义和方法 归纳法；类比法；演绎法 4.2 证明的意义和方法 一、推理的意义方法 推理是从两个或几个判断得到一个新的判断的思维形式。推理常用的逻辑联系词有：“因为······所以······”，“由于······因此······”等等。 每一个推理都是由前提和结论两部分组成。在推理中，用来得出一个命题的若干命题叫做推理的前提，得出的那个命题叫做推理的结论。 数学中常用的推理方法有归纳法、演绎法以及类比法。 1.归纳法 归纳是通过对某类事物中的若干特殊情形的分析而得出一般结论的思维方法。 归纳思维的认识依据——在于同类事物的各种特殊情形中蕴含着统一性或共性。 归纳法又分为不完全归纳法和完全归纳法。 （1）不完全归纳法是根据考查的一类事物的部分对象具有某一属性，而作出该类事物都具有这一属性的一般结论。它的推理形式是： A1具有（或不具有）性质F A2具有（或不具有）性质F ……………………………… An具有（或不具有）性质F (A1UA2U···UAn是A的子集。) A类事物具有（或不具有）性质F 由于不完全归纳法是从部分推广到全体，因此结论不一定可靠。用不完全归纳法得出的结论即使可信，但仍然是一种猜想，不是数学的真理。不完全归纳法不是证明方法。 由 归纳出：“把xn-1分解为不可再分解并且具有整系数的因式以后，各系数的绝对值都不超过1”这个命题称为契巴塔廖夫问题。 即 含有因式： 在中学数学中，常用不完全归纳法对些探索性命题的结论作出猜测。 例：空间的平面分划问题，即用n个平面最多可把空间分成几部分? 我们记f(n)为n个平面分空间所成部分数，则n=0时, f(0)=1； n=1时, f(1)=2； n=2时, f(2)=4； n=3时, f(3)=8； n=4时, f(4)=15； n=5时, f(5)=26；… … 其中，当n=4时，可在n=3的基础上添加第四个平面，它与前3个平面各交于一条直线，这三条交线又把第四个平面划分成7块区域，从而使其所在的空间部分一分为二，故共有15部分。 对于n=5，可作同样的分析。于是可知它与后一平面添加后所得交线分平面数有关。列成下表： 则由观察可知下一行的f(n)等于上一行的两数之和，于是归纳出f(n)= f(n-1)+g(n-1),而g(n-1)=1/2n(n-1)+1. 数学家常用不完全归纳法来提出假设或猜想。例如：费马定理。数论中的梅森猜想、费马猜想、哥德巴赫猜想等都是通过不完全归纳法提出的。 17世纪法国著名数学家梅森曾对“2p-1”型素数作过较为系统而深入的探究，并作出著名的断言（现称“梅森猜想”）。梅森数(Mersenne number)，是指形如2P－1的正整数，其中指数p是素数，常记为Mp.若Mp是素数，则称为梅森素数(Mersenne prime).梅森在欧几里得、费马等人的有关研究的基础上对2p－1作了大量的计算、验证工作，并于1644年在他的《物理数学随感》一书中断言： 对于p=2，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时， 2P －1是素数；而对于其他所有小于257的数时， 2P －1是合数。前面的7个数（即2，3，5，7，13，17和19）属于被证实的部分，是他整理前人的工作得到的；而后面的4个数（即31，67，127和257）属于被猜测的部分。 到目前为止， “梅森猜想”仍然是数论中没有解决的问题之一。 歌德巴赫猜想 这个问题是德国数学家哥德巴赫于1742年6月7日在给大数学家欧拉的信中提出的， 用现代语言来叙述，哥德巴赫猜想有两个内容，第一部分叫做奇数的猜想，第二部分叫做偶数的猜想。奇数的猜想指出，任何一个大于等于7的奇数都是三个素数的和。偶数的猜想是说，大于等于4的偶数一定是两个素数的和。 1924年，德国数学家拉德马哈尔证明了：偶数=(7+7)；1932年，英国数学家艾斯特曼证明了：偶数=(6+6)；1938年，苏联数学家布赫斯塔勃证明了：偶数=(5+5)；1940年，苏联数学家布赫斯塔勃又证明了:偶数=(4+4)；1957年，苏联数学家维诺格拉托夫证明了:偶数=(3+3)；1957年，我国数学家王元证明了：偶数=(2+3)；1962年，我国数学家王元和潘承桐证明了:偶数=(1+4)；